如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．(1)求抛物线的解析式．(2)若点D(2，2)是

Question

如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．(1)求抛物线的解析式．(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．注：二次函数 （ ≠0）的对称轴是直线 =

Answer 1

（1） （2）P（ ， ）

解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（－2，0），C（0，3）。 将C（0，3）代入 得c=3。 将A（－2，0）代入 得， ，解得b= 。 ∴抛物线的解析式为 。 （2）如图：连接AD，与对称轴相交于P， 由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。 设AD的解析式为y=kx+b， 将A（-2，0），D（2，2）分别代入解析式得， ，解得， ，∴直线AD解析式为y= x+1。 ∵二次函数的对称轴为 ， ∴当x= 时，y= × +1= 。∴P（ ， ）。 （1）根据OC=3，可知c=3，于是得到抛物线的解析式为 ，然后将A（－2，0）代入解析式即可求出b的值，从而得到抛物线的解析式。 （2）由于BD为定值，则△BDP的周长最小，即BP＋DP最小，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。