基本不等式求最值，我有几个不懂得地方

Question

a、b大于0
a+b=2
y=1/a+4/b，求y最小值。
为什么不能用1/a+4/b大于等于2根号4/ab，a+b=2
求出a、b 的值来解答？

Answer 1

按照你的做法，等式成立的条件是1/a=4/b
后面的式子中含有ab,它不是确定值，你又根据a+b=2来求它的最大值，此时等号成立条件是a=b
前后两次等号成立时条件不一样，故最终等号是不能成立的，没有等号，哪里来的最小值追问

两个条件不可以叠加吗……

追答

若1/a=4/b成立，即为b=4a 如果它能和a=b叠加，则a=b=0,可是题目中说a,b大于0

Answer 2

问题确实出在两次取等条件不同！
如果使用基本不等式前变换一下，就不会有这情况了：
1/a+4/b
＝(1/2)·2·(1/a+4/b)
＝(1/2)·(a+b)(1/a+4/b)
＝(1/2)·(5+4a/b+b/a)
≥5/2+2√(4a/b·b/a)
＝9/2.
即所求最小值为y|min＝9/2.
取等时，a+b＝2且4a/b＝b/a,
即a＝2/3,b＝4/3.

当然本题变换后用柯西不等式解更简洁。