指数函数为什么叫指数函数?

Question

如题所述

Answer 1

根据指数运算的定义，对于任何实数x和y，有：
e^(ln(x)) = x
其中e是自然对数的底数，ln是自然对数函数，也称为对数函数。
因此，对于任何实数x，有：
e^(ln(-x)) = -x
现在考虑e^(ln(-x))的倒数。根据倒数的定义，对于任何实数y，有：
1/y = y^(-1)
因此，e^(ln(-x))^(-1) = (-x)^(-1) = -1/x
又因为-1/x可以写成-1/(|x|) x (-1)^2的形式，因此我们可以将其写成：
-1/x = -1/|x| x (-1)^2
现在我们可以将e^(ln(-x))^(-1)写成以下形式：
e^(ln(-x))^(-1) = e^(ln(|x|) + iπ)^(-1)
其中i是虚数单位，π是圆周率。
根据欧拉公式，有：
e^(iπ) = -1
因此，我们可以将e^(ln(-x))^(-1)写成以下形式：
e^(ln(-x))^(-1) = e^(ln(|x|) + iπ)^(-1) = e^(-ln(|x|) - iπ) = e^(-ln(|x|)) x e^(-iπ)
现在我们可以使用欧拉公式，将e^(-iπ)写成cos(π) - i sin(π)的形式。由于sin(π) = 0，因此我们可以将e^(-iπ)写成cos(π)的形式。根据三角函数的定义，有：
cos(π) = -1
因此，e^(-iπ) = -1。
现在我们可以将e^(ln(-x))^(-1)写成以下形式：
e^(ln(-x))^(-1) = e^(-ln(|x|)) x e^(-iπ) = e^(-ln(|x|)) x (-1) = -1/x
因此，e^(ln(-x))^(-1)等于-1/x。又因为e^(ln(-x))等于-x，因此：
e^(ln(-x))^(-1) = (-1/x) = 1/(-x) = 1/(-1) x 1/x = 1/e x 1/(-x/e)
因此，e^(ln(-x))的倒数是1/e乘以一个常数1/(-x/e)，其中x是任何正实数。当x为负实数时，e^(ln(-x))不存在，因为对数函数的定义域是正实数。