积分的中值定理

Question

同济的高数上在论述积分的中值定理的时候，用了两种方法
一种是用闭区间的连续函数的介值定理
这个时候ξ[a,b]
再一种用微分的中值定理，这个时候ξ（a,b）
前后为什么不一样，难道第2种是第一种的推广？？

再一个问题〕
罗尔定理
条件之中为什么不是闭区间可导,而是在开区间可导
结论中的F‘（ξ）＝0 ,ξ（a,b）为什么不是闭区间呢？？

Answer 1

　　积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

　　若函数  在闭区间  上连续,，则在积分区间  上至少存在一个点  ，使下式成立

　　其中，a、b、  满足：a≤  ≤b。

Answer 2

在数学定理的证明中，我们总是希望用最弱的条件推出最强的结论。这样定理的适用性强，应用范围广，而且也符合我们的审美逻辑。
楼主可以看到，在罗尔定理的证明中，如果f(a)=f(b)，则完全可以找到(a,b)里的一点ξ，使得f(ξ)取到极值，从而f'(ξ)=0。这样定理的结论中写ξ∈[a,b]和ξ∈(a,b)都没有错，但是为了让结论最强，我们选择ξ∈(a,b)
对于积分中值定理的第一个证明，我们也可以增加一些步骤，使得结论在(a,b)上成立（如果你想看的话我可以给你写出来）。但是对于这本书来说，因为有了第二个证明，书的严谨性和完整性已经具备了，所以第一个证明只写了较弱的结论。本回答被网友采纳

Answer 3

如果取区间端点的话此时曲线的切线有可能是垂直与x轴 有可能事沿任一方向的 显然都是不可导的 因此端点只能无限接近但不能达到顾而是开区间