求半径相等的两个直交圆柱面x^2 y^2=r^2及x^2 +z^2=r^2所围立体的表面积

Question

如题所述

Answer 1

解：根据题意分析知，所求表面积是由4个表面积相等的曲面构成。
其中一个表面积S=∫∫<D>ds
(z=√(r2-x2)，D：x2+y2=r2)
∵αz/αx=-x/√(r2-x2)，αz/αy=0
∴ds=√[1+(αz/αx)2+(αz/αy)2]dxdy=[r/√(r2-x2)]dxdy
则
S=∫∫<D>ds
=∫∫<D>[r/√(r2-x2)]dxdy
=4r∫<0,π/2>dθ∫<0,r>ρdρ/√(r2-ρ2cos2θ)
(作极坐标变换)
=-2r∫<0,π/2>dθ∫<0,r>d(r2-ρ2cos2θ)/[cos2θ√(r2-ρ2cos2θ)]
=4r∫<0,π/2>[(r-rsinθ)/cos2θ]dθ
=4r2∫<0,π/2>(sec2θ-sinθ/cos2θ)dθ
=4r2(tanθ-secθ)│<0,π/2>
=4r2(0+1)
=4r2
故
所求表面积=4S=4(4r2)=16r2。