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为什么任意方向的方向导数都存在,但该点可以不连续?
反例我知道,但我弄不懂,不是左右导数都存在该点连续吗,为什么放到三维空间就存在反例呢,谁能给我一下理论解释,不想要例子
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推荐答案 2020-06-09
考察函数f(x,y)=1,当0<y<x^2,-∞<x<+∞时,
0,其余部分,
这个函数在原点不连续,因为沿直线趋于原点时极限是0,而沿y=kx^2,(0<k<1)时极限是1,在原点重极限不存在。
但在始于原点的任何射线上,都存在包含原点的充分小的一段,在这一段上f的函数值恒为零,于是由
方向导数
定义,在原点处沿任何方向l都有∂f/∂l|(0,0)=0。
这说明函数在一点连续不是方向导数存在的
必要条件
,也不是
充分条件
。
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其他回答
第1个回答 2023-10-03
简单来说就是曲线比直线多得多,你所有方向导数存在的限制条件并不够强,很容易满足。
相似回答
为什么
二元函数的某一点具有
任意方向的方向导数不
能推出函数在
该点连续
...
答:
解释如下:二元函数的某一点具有任意方向的方向导数说明在该点是可导的,但并不一定是连续的
,可能是第一类或者第二类间断点,但是在该点连续的话是一定可导的,这是必要不充分条件,希望你能理解!!
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