取石头问题-数学

Question

两个人玩游戏，有2009块石头，每一次一个人可以取3，4，或7 块石头。
当剩余石头数少于3块，可以一次取走。问：有何策略可以使先拿的人（或后拿的人）必胜。
呵呵，取到最后一块算赢

谢谢提醒

Answer 1

解：先拿的人有必胜策略。

先简单地算一下数字较小时的情况： （“胜”“负”指先拿的人）
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
负 胜 胜 胜 胜 负 负 胜 胜 胜 胜 负 胜 胜 胜 胜 负 负 胜 胜 胜 胜 负
可以看出 11--21和0--10的情况相同，所以我们猜想并试着证明11为循环。

证：
设An为共有n块石头时先拿者的胜负情况。
(1)当n=0*11时，由上表有A0=A11 , A1=A12 , ... , A10=A21
即，An=负 , An+1=胜 , An+2=胜 , ... , An+10=胜
(2)设当n=(k-1)*11时亦满足上述规律
则当n=k*11时，
A(k-1)*11 A(k-1)*11+1 A(k-1)*11+2 A(k-1)*11+3 A(k-1)*11+4 A(k-1)*11+5
负 胜 胜 胜 胜 负
A(k-1)*11+6 A(k-1)*11+7 A(k-1)*11+8 A(k-1)*11+9 A(k-1)*11+10
负 胜 胜 胜 胜
Ak*11 Ak*11+1 Ak*11+2 Ak*11+3 Ak*11+4 Ak*11+5
负 胜 胜 胜 胜 负
Ak*11+6 Ak*11+7 Ak*11+8 Ak*11+9 Ak*11+10
负 胜 胜 胜 胜
（判定胜负的方法为：若先拿者拿完（3个或4个或7个）后，后拿者对应的状态至少有一个为负，则先拿者胜。即若An-3 , An-4 , An-7中至少有一个值为负，则An值为胜，否则An值为负）
对于Ak*11--Ak*11+10，规律仍然成立。
由(1)(2)可证胜负周期为11。

又因为A0=负，所以A2002=A0=负，即先拿者拿7个即可获胜。

获胜方法：先拿7个；
数先拿者和后拿者每次拿3块的次数，
若为3k次（即0,3,6,9......）则
后拿者 先拿者
3 3
4 7
7 4
若为(3k+2)次（即2,5,8,11......）则
后拿者 先拿者
3 7
4 7
7 3或4
不可能出现(3k+1)次（即1,4,7,10......）如果出现就表示你前
面的过程出了错。
有了前面证明的铺垫，获胜方法的推导并不难，在此不作证明。

解毕

Answer 2

这问题问的。。。一般都得说明是谁拿到最后一块算谁赢还是输。

----------------------------------------
这问题还是有疑问：最后少于3块，也就是只剩下2块的时候才能一次性拿走，对应每次一每个人只能拿3、4、7这三个数，2个人合计一次可以拿走的石头数目就只能是：6、7、8、10、11、14这几个中的一个，无论是哪一个数字，用2007来除都得不到整数，所以没有必胜的答案

Answer 3

选择后拿，并且跟着先拿的人，他拿多少你拿多少最后终究是你的。

Answer 4

z1025zzsg的答案很好，我就不说了。类似的数学问题很多，主要是从小数量时找规律。