闭区间上的连续函数 ，必然有最大值和最小值。
设 f(x) 在区间 I 上有定义，如果 x_0\in I ，使对任一 x\in I ，都有 f(x)\le f(x_0)(f(x)\ge f(x_0)) 则称 f(x_0) 为 f(x) 于区间 I 上的最大（小）值。如： y=1+\sin x 在闭区间 [0,2\pi] 上有最大值 f(\frac{\pi}{2})=2 ，和最小值 f(\frac{3\pi}{2})=0 。
符号函数（戳我了解） f(x)=sgn(x) 在开区间 (-\infty,+\infty) 内有最大值 1 和最小值 -1 ，在开区间 (0,+\infty) 内的最大值和最小值都等于 1 （注意：最大值和最小值可以相等）。但是函数 f(x)=x ，在开区间 (a,b) 内既无最大值也无最小值，因为区间端点取不到。
这就是说，如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，那么存在常数 M>0 ，使得对任一 x\in [a,b] ，满足 |f(x)|\le M ；且至少有一点 \xi _1 ，使 f(\xi_1) 是 f(x) 在 [a,b] 上的最大值；又至少有一点 \xi_2 ，使 f(\xi_2) 是 f(x) 在 [a,b] 上的最小值。
所以找不到一个确定的最大值和最小值。有界性与最大值最小值定理：闭区间上的连续函数在该区间上有界且一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有界，也不一定有最大值和最小值。
零点定理和介值定理
如果 x_0 使 f(x_0)=0 ，则称 x_0 为函数 f(x) 的零点。
零点定理：设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a)\cdot f(b)<0 ），那么在开区间 (a,b) 内至少有一点 \xi ，使 f(\xi)=0 。
证明略，几何直观图如下所示，如果连续曲线 y=f(x) 的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么这段曲线与 x 轴至少有一个交点 \xi 。