数列收敛定义

如题所述

收敛数列是一个数学名词,设数列{Xn},如果存在常数a(只有一个),对于任意给定的正数q(无论多小),总存在正整数N,使得n>N时,恒有|Xn-a|<q成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列。

对于一个数列{an},如果存在一个实数A,使得对于任意一个正实数ε(无论多么小),总存在一个正整数 N,使得当n>N时,|an - A| < ε 恒成立,那么我们就称数列{an}收敛于A,或者称A是数列 {an} 的极限。

这个定义的核心在于“任给一个正实数ε,总存在一个正整数N,使得当n>N时,|an - A| < ε 恒成立”。这意味着数列中的项在远离一定距离后(即n>N之后),它们与极限A的差值可以任意小。

这个定义有四个基本组成部分:

数列: 这是一个由一组数值组成的序列,通常表示为 {an},其中n是正整数。

极限: 这是数列的终点,或者说是数列趋近的值。在定义中,这个值被表示为A。

ε:这是一个任意小的正实数,用来描述我们所能接受的偏离极限A的最大程度。

N:这是一个正整数,它代表我们能找到的最小的n值,使得即使我们从该项开始向后看(即 n>N),数列中的项与极限A的差值都能小于ε。

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