数列收敛定义

Question

如题所述

Answer 1

收敛数列是一个数学名词，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

对于一个数列{an}，如果存在一个实数A，使得对于任意一个正实数ε（无论多么小），总存在一个正整数 N，使得当n>N时，|an - A| < ε 恒成立，那么我们就称数列{an}收敛于A，或者称A是数列 {an} 的极限。

这个定义的核心在于“任给一个正实数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，|an - A| < ε 恒成立”。这意味着数列中的项在远离一定距离后（即n>N之后），它们与极限A的差值可以任意小。

这个定义有四个基本组成部分：

数列： 这是一个由一组数值组成的序列，通常表示为 {an}，其中n是正整数。

极限： 这是数列的终点，或者说是数列趋近的值。在定义中，这个值被表示为A。

ε：这是一个任意小的正实数，用来描述我们所能接受的偏离极限A的最大程度。

N：这是一个正整数，它代表我们能找到的最小的n值，使得即使我们从该项开始向后看（即 n>N），数列中的项与极限A的差值都能小于ε。