初中数学题

Question

1、如图，△ABC与△AMN都是等边三角形，且M,N,C三点在同一直线上，求证AM+BM=CM

2、如图，AC＞AB，AD是中线，求证∠1＜∠2

3、如图，在三角形中，AD平分∠BAC，EF‖AB,DF=DC,试判断EF与AC的大小关系并说明理由

4、如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC与F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG.EF.
（1）求证：BG=CF
(2）判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由

5、如图在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°

6、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=100° ，∠B的平分线交AC于D
求证： AD+BD=BC

Answer 1

1
AB=AC;
AM=AN;
∠CAB=∠MAN=60度,∠CAB=∠CAN+∠NAB,∠MAN=∠MAB+∠NAB→∠CAN=∠MAB
∴△CAN≌△MAB
∴CN=MB;
∴CM=CN+MN=MB+AM

2
过B作BE‖AC,延长AD与BE交于E
容易证明△ACD≌△BED
∠BED=∠1;BE=AC＜AB;
则"大边对大角",∠2对应BE,∠BED对应AB,
∴∠BED＜∠2
∴∠1＜∠2

3
根据角平分线定理,
BD/AB=CD/AC
EF‖AB,则DF/EF=BD/AB
∴DF/EF=CD/AC
∵DF=CD
∴EF=AC

4
（1）很显然,BD=CD;对顶角;平行,角C=角DBG→
△BDG≌△CDF;
所以BG=CF
(2）△BDG≌△CDF,则GE=EF
而上题已证BG=CF;
而在△BEG中,BE+BG＞GE
∴BE+CF＞EF

5
在BC上找一点E,使DE=DC
则AD=DE;∠C=∠CED
又∵BD是公共边,∠ABD=∠CBD
∴△ABD≌△CBD
∴∠A=∠BED
因此：∠A+∠C=180°

6
在CB上找两点E,F,使AD=DE=DF;
AB=AC，∠A=100°,那么根据三角形内角和定理,∠B=∠C=40°
BD平分∠B,则∠ABD=∠CBD=20°
∠ADE=∠CBD+∠C=20°+40°=60°

∴∠EDF=20°;
BD共用;AD=DF;∠ABD=∠CBD=20°→△ABD≌△FBD→∠FDE=∠ADE=60°
∴∠BDE=∠FDE+∠EDF=60°+20°=80°;
∠BED=∠EFD=(180°-∠EDF)/2=80°
∴∠BDE=∠BED=80°
∴BD=BE;

∠CDE+∠BDE+∠ADE=180°→∠CDE=180°-60°-80°=40°=∠C
∴DE=CE
∴DE+BD=BE+CE,
即AD+BD=BC

Answer 2

1、证明:
∵△ABC与△AMN都是等边三角形
∴AB=AC AM=AN ∠CAB=∠NAM=60°
又∵∠CAM+∠MAB=∠MAB+∠MAB=60°
∴∠CAM=∠BAM
∴在△ANC与△ABM中
AB=AC
{ ∠CAM=∠BAM
AM=AN
CAN≌△MAB (SAS)
∴CN=BM
又∵△ABC与△AMN都是等边三角形
∴AM=MN
∴CM=CN+NM=BM+AM

2、证明:
过D作DE‖AC
∵DE‖AC
∴∠1=∠ADE ∠2=∠DEB
∵∠2=∠DEB为△ADE的外角
∴∠2=∠DEB=∠1+∠DAE
∴∠1＜∠2

3、延长ED到G,使DG=ED 并连接GC
∵在△FED与△GCD中
FD=DC
{ ∠FDE=∠GDC
DG=ED
∴△FDE≌△GDC(SAS)
∴∠FED=∠CGD EF=CG
又∵EF‖AB
∴∠FED=∠BAD
又∵AD平分∠BAC
∴∠DAC=∠BAD
又∵∠FED=∠CGD ∠DAC=∠BAD ∠FED=∠BAD
∴∠CGD =∠DAC
∴AC=CG
又∵EF=CG
∴EF=AC

4、(1)证明:
∵AC\\BG
∴∠FCD=∠DBG
∵D是BC的中点
∴BD=DC
∴在△BDG与△FDC中
∠FCD=∠DBG
{ BD=DC
∠BDG=∠CDF
∴△BDG≌△FDC(ASA)
∴BG=CF

(2)
BE+CF与EF的大小关系为BE+CF>EF
∵△BDG≌△FDC
∴DG=DF BG=CF
∵DE⊥DF
∴△GEF为等腰△
∴EG=EF
∴在△EBG中BE+CF>EF

5、证明:
在BC上取一点G,并连接DG,使AB=BG
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠GBD
在△ABD与△GBD中
AB=BG
{ ∠ABD=∠GBD
BD=BD
∴△AB≌△GBD(SAS)
∴∠BAD=∠BGD=∠A AD=DG=CD
∵DG=CD
∴∠C=∠DGC
∴∠C+∠A=180°

6、证明:
在BC上找2个点F,E 并连接DE DF 使BE=AB
使AD=DF=DE△
∵∠A=100°AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=40°
∵BD平分∠B
∴∠ABD=∠DBC=20°
在△ABD与△BDE中
BE=AB
{ ∠ABD=∠DBC
BD=BD
∴△ABD≌△BDE
∴∠A=∠BED=100° ∠ADB=∠BDE=60°
∴∠DEF=80°
DF=DE
∴∠DEF=∠DFE=80°
∴∠EDF=20°
∵∠DFE=80° ∠DCF=40°
∴∠FDC=40°
∴DF=FC=AD=DE
∵∠BDE=60°∠EDF=20°
∴∠BDF=80°
∴BD=BF
∴BC=BF+FC=AD+BD