为什么线性代数低维无关,高维也无关，简单证明一下

Question

如题所述

Answer 1

因为要把所有的分量用同样的系数组合成0，低维的那些分量只有0系数才能组合成0。换一种说法从低维到高维的那个映射是列满秩的单射。

线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支，包括对线、面和子空间的研究，也涉及到所有向量空间的一般性质。

线性代数是纯数学和应用数学的核心，它的含义随着数学的发展而不断扩大，其理论和方法已经渗透到数学的许多分支，也成为理论物理和理论化学不可缺少的代数基础知识。

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。

含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

Answer 2

用反证法：设α1=(a11,a12,……a1n),α2=(a21,a22,……a2n),……，αm=(am1,am2,……amn),
β1=(a11,a12,……a1n,a1,(n+1),……a1,(n+k)),β2=(a21,a22,……a2n,a2,(n+1),……a2,(n+k)),……，βm=(am1,am2,……amn,am,(n+1),……am,(n+k))
假设α1，α2，……，αm线性无关，而β1，β2，……，βm线性相关
∵β1，β2，……，βm线性相关，∴存在不全为0的c1,c2，……，cm 使得
c1α1+c2α2+……+cmαm=0(向量）
从而：
c1a11+c2a21+……+cmam1=0
c1a12+c2a22+……+cmam2=0
…………
c1a1n+c2a2n+……+cmamn=0
…………
c1a1,(n+k)+c2a2,(n+k)+……+cmam,(n+k)=0
而从前n个等式可推知，α1，α2，……，αm线性相关，与原来的α1，α2，……，αm线性无关矛盾。
∴若α1，α2，……，αm线性无关，则β1，β2，……，βm线性无关，即低维无关,高维也无关。本回答被提问者采纳