如图，平面直角坐标系中，直线y＝－ x＋8分别交x轴、y轴于点B、点A，点D从点A出发沿射线AB方向以每秒1个

Question

如图，平面直角坐标系中，直线y＝－ x＋8分别交x轴、y轴于点B、点A，点D从点A出发沿射线AB方向以每秒1个单位长的速度匀速运动，同时点E从点B出发沿射线BC方向以每秒 个单位长的速度匀速运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥AO于点F，连接DE、EF. （1）当t为何值时，△BDE与△BAO相似；（2）写出以点D、F、E、O为顶点的四边形面积s与运动时间t之间的函数关系；（3）是否存在这样一个时刻，此时以点D、F、E、B为顶点的四边形是菱形，如果存在，求出相应的t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）5或 ；（2）s＝＝24－ （0＜t≤10），s＝ （t＞10）；（3） 或25s时

试题分析：（1）由直线y＝－ x＋8分别交x轴、y轴于点B、点A，可得OB＝6，OA＝8，则可得AD＝t，BE＝ t，BD＝10－t，由△BDE与△BAO具有公共角∠ABO可得当 或 时两三角形相似，即可求得结果； （2）①当点D在线段AB上时，先证得△ADF∽△ABO，根据相似三角形的性质可得四边形DFEB为平行四边形，根据平行四边形的性质求解即可；②当点D在AB的延长线上时，四边形OEFD为梯形， 根据梯形的面积公式求解即可； （3）分①当点D在线段AB上时，②当点D在AB的延长线上时，证得四边形DFEB为平行四边形，根据平行四边形的性质及菱形的判定分析即可. （1）∵直线y＝－ x＋8分别交x轴、y轴于点B、点A， ∴OB＝6，OA＝8， 则AD＝t，BE＝ t，BD＝10－t， ∵△BDE与△BAO具有公共角∠ABO． ∴当 或 时两三角形相似． 即 或 ，解得t＝5或 ． ∴当t为5或 时，△BDE与△BAO相似． （2）①当点D在线段AB上时， ∵DF⊥OA，BO⊥AO，∴DF∥BE，∴△ADF∽△ABO， ∴DF∶BO＝AD∶AB＝AF∶OA，∴DF＝ ，AF＝ ， ∴BE＝DF，∴四边形DFEB为平行四边形，S △ DEF ＝S △ BEF ＝ S DFEB , ∴四边形OFDE的面积等于△BOF的面积， ∴s＝ BO·OF＝ ×6×(8－ )＝24－ （0＜t≤10）． ②当点D在AB的延长线上时，四边形OEFD为梯形， s＝ (OE＋DF)·OF＝ ×( －6＋ )× ＝ （t＞10） （3）①当点D在线段AB上时，已知四边形DFEB为平行四边形，只需保证BD＝BE，即可保证四边形DFEB是菱形，即10－t＝ ，解得t＝ ． ②当点D在AB的延长线上时，易证四边形BEFD为平行四边形，只需保证BD＝BE，即可保证四边形DFEB是菱形，即t－10＝ ，解得t＝25． 综上所述，当t的值为 或25时，以点D、F、E、B为顶点的四边形是菱形． 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．