初中一年级的两道数学题目，请高手帮忙

Question

刚上初中一年级（吉大附中）刚几天的孩子今天在学校迎接了一场选拔潜力学生的数学考试。其中两道题目，我也感到较难。

问题1：包含数字6，且能被3整除的5位数字有多少个？（可以有重复数字）
这个题目 我也会做。但是总觉得方法不够轻盈，而且要涉及到高中数列知识。而这却只是个初中一年级刚入学没几天的题目。

问题2：
一组数，由从1开始的连续自然数组成，共2n个。（即1，2，3，4，……,2n-1,2n）。现在将这组数随机地平分成2组。第一组数按照 a1<a2<a3<……<an 排列，第二组数按照 b1>b2>b3>……>bn排列。
请证明：|a1-b1| + |a2-b2| + …… + |an - bn| = n^2

这第二道题目 简直让我也不知道从何下手，因为其中的分组规则是 “随机”。即使用数学归纳法 我也想不出好主意。况且这只是初中一年级题目。

请高人帮忙！
caolaomao:你很聪明。关于第一个题目，先构造能被3整除的4位数字，然后把6置入其中，共有4个位置。这个想法很轻盈！不过你有一个小的疏忽，构造4位数时候，应该扣除 6000-6999之间的数字不做考虑。关于第二个题目，你的想法也很好，随着数列延伸，必然存在那么一个特殊的位置，在该位置之前 a<b，而在其后a>b。以此为突破点，本题圆满解决。看来还真是一道初中题目。
magicioney：你也基本解决了这两个问题，谢谢。但在时间上你落后了。
另外谢谢所有参与的人！！！

Answer 1

第一题
这个题用小学的知识可以做到。
首先了解能整除3的数有个特点就是各位的和能整除3

所以这个五位数除去一个6剩下的4位的和也能整除3
现在就要分部了：
1。6在五位数首位的时候。剩下的4位数的“首位”可以为0。所以总数为0-9999里面所有能整除3的数共有（9999-0）/3+1=3334个（这里很容易忽略）
2。6不在首位的时候。那么剩下的4位数的“首位”不能为0。所以这样的四位数为1000-9999里面所能整除3的数。共（9999-1002）/3+1=3000个
再将6插入。6不能在首位，所以只能有千位、百位、十位和个位4种位置。所以一共有3000*4=12000个

2个可能一共加起来为12000+3334=15334个

第二题。
也要分情况
1。当a1>b1时
因为a数为递增 b为递减
所以 所有的a值大于b值
a值为n+1到2n的数
b值为1到n的数

算式=a1-b1 + a2-b2 + …… + an - bn
=（n+1 + n+2 + ... + 2n）-(1+2+...+n)
=n^2
2。当a1<b1 an<bn时
因为a数为递增 b为递减
所以 所有的b值大于a值
b值为n+1到2n的数
a值为1到n的数
算式=b1-a1 + b2-a2 + …… + bn - an
=（n+1 + n+2 + ... + 2n）-(1+2+...+n)
=n^2
3。当a1<b1 an>bn时
因为a数为递增 b为递减
所以必然有ak>bk a(k-1)<b(k-1)--------括号表示角标
算式=b1-a1 + b2-a2 + … +b(k-1)-a(k-1) + ak-bk+ … + an- bn
将所有被减数构成新的一组c
所有减数构成新的一组d
c1=b(k-1) c2=b(k-2)...c(k-1)=b1 ck=ak...cn=an
d1=a(k-1) d2=a(k-2)...d(k-1)=a1 dk=bk...dn=bn
因为c1=b(k-1)>a(k-1)=d1
a为递增所以c1大于a(k-1)及以前的数，这里既是d(k-1)及以前的数
因为c1=b(k-1) b为递减
所以c1大于bk及以后的数，这里既是dk及以后的数
所以c1大于所有d的数
c1到c（k-1）为递增 所以都大于d
类似可以证明ck大于所有的d
ck到cn也为递增
因此得到所有的c大于所有的d

回到了第一种情况。
结果还是n^2

用文字阐述比较麻烦。希望你懂了
给你儿子说的时候可以画图
横坐标表示角标大小
纵坐标表示数值大小

得到的所有点连接：
a数列为一根递增的线
b为递减的线

他们有一个交点（主要针对第三中情况，前面2个也说的通不过交点不在1象限）
题中的 算式结果总是交点上面的数减下面的数
所以总是大的加一起 减去 小的。
结果总是n^2

参考资料：手都写累了

Answer 2

问题1：
如果是初一的学生，那么应该这样考虑的：
由小学竞赛知识，
被3整除等价于各位上的数字和被3整除，
而6本身被3整除，所以只需要不算这个数字6，
5位数就变成4位数，它应该被3整除
分2种情况：
1.首位数字是6，那么我们只需要计算0到9999中被3整除的数 ，
共有9999/3+1=3334个（包括0）
2.非首位数字是6，那么需要计算1000到9999中被3整除的数，
也就是等价于1到9999-999=9000当中被3整除的数，
共9000/3=3000个
所以一共有5位数3334+3000*4=15334个

Answer 3

1）能被3整除
最小的5位数是10002，
最大的是99999
1.首位数字是6，我们要计算从0到9999中能被3整除的数 =9999/3+1=3334个
2.非首位数字是6，那么需要计算1000到9999中被3整除的数，
也就是1到9999-999=9000当中被3整除的数，
共9000/3=3000个 ，3000*4=12000，
=15334，
所以一共有5位数3334+3000*4=15334个
2）随机平均分成两组，
a1<a2<a3<..<an,
b1>b2>b3>..>bn,
|a1-b1|+|a2-b2|+..+|an-bn|
到最后肯定是大-小，
所以=(n+1+..+n+n)-(1+2+3+..+n)=n*n=n^2,
不知道你是否看懂，

Answer 4

乱答的，不要见外
C程序版：
源程序：
#include <stdio.h>
main()
{
long int a;
int i=0,j=0;
for(a=10000;a<100000;a++)
if(a%3==0)
{ j=0;
if(a%10==6)
j++;
if(((a/10)%10)==6)
j++;
if(((a/100)%10)==6)
j++;
if(((a/1000)%10)==6)
j++;
if(((a/10000)%10==6))
j++;
if(j!=0)
{ printf(",%ld",a);
i++;} }
printf("\n");
printf("%d",i);

}
运行结果是：12504个
第二个没看

耽误你的事了课别见外啊！

Answer 5

15334的答案是重复算了。。比如有两个以上的6并且一个6在首位的情况就重复了

用VB写的，第一题答案是12504，给达人一个参考
Dim i, b As Long
Dim a As String

Private Sub Command1_Click()
b = 0
For i = 10002 To 99999 Step 3
If i Mod 3 = 0 Then
a = i
For j = 1 To 5
If Mid(a, j, 1) = 6 Then
b = b + 1
Label1.Caption = b
Exit For
End If
Next j
End If
Next i
End Sub

Answer 6

我也是个初中生...94年11月17``真的额..~我试试吧..
问题1：包含数字6，且能被3整除的5位数字有多少个？（可以有重复数字）
要被3整除..是要数位上的所有数字加起来得的数可以被3整除``例如.54..数位上的5+4=9..9/3=3..可以整除.54就可以被3整除.那就简单了.. 5位数字..那就凑起来..很简单阿.54600..这就可以..自己再看看就知道了

问题2：
一组数，由从1开始的连续自然数组成，共2n个。（即1，2，3，4，……,2n-1,2n）。现在将这组数随机地平分成2组。第一组数按照 a1<a2<a3<……<an 排列，第二组数按照 b1>b2>b3>……>bn排列。
请证明：|a1-b1| + |a2-b2| + …… + |an - bn| = n^2

这个好难吖..最讨厌N1.B1什么字母的`前面几位太深了看不懂..这个题目也不怎么懂