设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=2e^-（x+2y),x>0,y>0,求随机变量Z=X+2Y的分布函数

Question

晕，我知道，要的是答案，我怎么求都和答案不同

Answer 1

【注意】联系高等数学“二重积分的换元法”。

你这里把一个被积函数f(x,y)还原成f(x(u,v), y(u,v))，在进行二重积分的话需要乘以雅阁比行列式（的绝对值）。

F(x, z) = ∫∫ f[x,(z-x)/2] |J| dx dz， J=-1/2

按照换元法的表示：
F(u, v) = ∫∫ f[x(u,v), z(u,v)] |J| dv du
f(u, v) = ∫ f[x(u,v), z(u,v)] |J| dv

其中 u=x+2y, v=y，求出来之后对v积分得到边缘分布函数 f(u)。
或者 u=x+2y, v=x，都是可以的。

这两种方法对应咱们熟悉的对dy积分、对dx积分。但是绝对不能套用 X+Y 的卷积公式。会把多元函数换元积分之后的雅阁比行列式（绝对值）丢了！复习高等数学“二重积分的换元法”一节，要联系起来做题。

X+Y型，之所以能按照那个特定的“公式法”，是因为其雅阁比行列式等于1；

还是这道题，如果硬搬 X+Y 的公式“用f(z－2y,y)计算结果”之所以能碰巧做对，是因为这时候碰巧 |J|=1，运气而已。

参考 1：同济高等数学 六版 下册 149页
参考 2：茆诗松 概率论与教程 二版 169页

Answer 2

带进去求二重积分~~注意把二重积分化为二次积分~~

Answer 3

应该是：-e^(-x+2y)追问

晕，你会做吗，不知道错哪去了

追答

fx(x)=∫2e^-（x+2y)dy=e^x
fy(y)=2e^2y
fz(z)=∫e^-x·2e^(x-z)dx=2z·e^-z（以上积分从0到+∞）
Fz(z)=∫fz(z)dz(此处积分从0到z)
上面算错了

追问

你做的还是不对，真的，可以令X=Z-2Y,然后代入，然后在Z的不同区间对Y求微分，我会做，但和答案不同，答案用的是另一种方法，有哪位大神用我的这种方法做一下啊，要过程，跪求啊！！！

追答

那fz(z)=??

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Answer 4

书上卷积公式写的很明白啊