R :全体实数的集合，即实数域， C ：全体复数的集合，即复数域， F ：包括 R 和 C
从 F 域中选择任意m个元素组成的有序列表，而所有有序列表的集合称为 向量空间 ，这个集合中每一个有序列表，即 向量
例：在全体实数中选择两个数组成的有序列表如 (1,2)，(3,4),(-1,9),这些有序列表的全部集合即实数域的二维向量空间
向量空间的本质是多个向量的集合，那么这个集合的子集即 子空间 或者 线性子空间
严格的向量空间数学定义是指满足交换律、结合律、加法单位元等等一些列运算规律的元素集合，但这种方式实在太抽象，不如从空间几何上理解，把向量看作为空间中一个个的箭头或者点，而这些箭头的集合就是向量空间，虽然看起来这个想象空间非常的拥挤。
V 是 F 域上的向量空间， 是其中的一组向量，那么将这组通过<u>标量乘法先后相加</u>，即得到该向量组的一个线性组合
向量空间 V 中的一组向量通过 线性组合 获得的所有向量的<u>集合</u>称为这一组向量的 张成空间
张成 描述的是多次线性组合的过程，而张成后形成的空间，依然是一个向量的集合。这个空间可以等于向量空间 V ，也可以是 V 的子集。
通俗的理解，线性无关or相关是描述一组向量的，在这一组向量中，其中任何一个向量都不能通过其他向量的线性组合获得到，那么这一组向量是线性无关的，反之则是线性相关的。从空间上理解，向量是空间里面的箭头，而线性组合包含的标量乘法和相加就是箭头的拉伸压缩和叠加，如果一组向量中，任何一个向量都无法通过其他向量的压缩和叠加来获得，那么自然是线性无关。
V 是向量空间，例如 ，代表实数的三维向量空间。基向量是一组向量，这一组向量张成的空间等于 V ，即这一组向量通过线性组合，可以获得这个向量空间 V 中的任意其他向量。
为什么基向量一定是线性无关的？因为如果基向量是线性相关的，那么在该组向量中必然存在某个向量 可以通过该组中的其他向量线性组合得来。也就是说，这个向量 对于基向量本身来说，是多余的，因此基向量必然线性无关。
如果向量 都是n维向量，那么两个向量的点积为各维度上数值的乘积的和:
向量的点积是标量，当点积为0时，表示两向量是正交的。
向量 的叉积是向量，膜长为 构成的“面积”大小，方向正交与 张成的空间，满足右手定则。
线性映射 也就是 线性变换 ，其本质是一种函数，输入和输出都是向量空间，描述的是向量空间 V 映射到向量空间 W 的运动过程。从 V 到 W 的线性映射必须满足两个条件：
对于所有的 线性变换 T 满足
对于所有的 线性变换 T 满足
线性变换的数学符号就是 矩阵 ，矩阵即线性变换的信息载体。那么如何理解矩阵的数学含义？
<1>线性变换的对象是向量空间，即空间 V 中的全部任意向量
<2>任何一个向量空间中的所有向量都可以通过基向量的线性组合获得
<3>经过线性变换后，新的向量空间中的所有向量是新的基向量线性组合结果
<3>只要记录原空间 V 的基向量线性变换后的新坐标，就可以通过线性组合推导出任意向量经过线性变换后的新坐标
所以，<u> 矩阵记录的是，经过线性变换后，原来的基向量在新向量空间中的位置信息 </u>
例如对于 R 2 的空间 V 有一对基向量 , ，对于任意一个该空间的向量 可以表示成 。经过线性变换后， -> ，基向量 , --> , 。假设变换后新的基向量坐标为 , 那么 可以表示为:
将变换后的基向量作为列向量组合在一起，就变成了 矩阵 matrix,记作
从空间几何角度去看待矩阵，要比从多元一次方程组来看待矩阵要直白形象得多。
矩阵 T 表示从向量空间 V 到向量空间 W 的映射关系，那么矩阵 S 表示 从 W 到 T 的映射关系，则 T 为 W 的逆矩阵， W 为 T 的逆矩阵。一个矩阵与它的逆矩阵相乘所得为单位矩阵 I ，单位矩阵表示恒等映射，即一模一样的空间映射。
矩阵 A 的转置 是通过互换行列的角色得到的矩阵：
对于矩阵 ,其 行秩 为 ,列秩为 。矩阵A的秩等于矩阵A的 列秩
在线性映射过程中，原向量空间的基向量 被映射到了 ,行列式表示映射完成后，新的基向量构成的"面积"，这里的面积是广义的，如果是 的映射，那么是平行四边形的面积，如果是 的映射，那么指的是平行四面体。行列式是描述线性映射后对空间的影响的一个指标。例如，如果 那么原向量空间被映射到更低的维度上，甚至直接被拍扁在0维。对于较简单的二维矩阵行列式计算如下:
对于线性映射 T ， T 的零空间(记作 )是指向量空间 V 中那些被 T 映射到0上的向量的集合。
即输入的向量集 V ，经过线性映射 T 后形成了新的向量集 W ，这个过程中，原属于V中的一部分向量经过映射后，“不幸”的被拍死在零点（原点）上，这群不幸的向量的集合就是线性映射的零空间 nullT ，零空间是 V 的子空间。
对于算子 T ，将空间 V 映射到 W 的过程中，一部分向量 被映射到 上，则 为特征值， 是基于 的特征值。一个n*n的矩阵有n个特征值，特征值之和为矩阵的 迹
特征向量的特性在于，经过同一个矩阵进行映射，无论多少次，特征向量的方向始终不变，而模长变为 的k次幂倍。这一特点在求解矩阵的n次幂时非常重要:
参考资料: