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Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且∠EDF=90°．
（1）求DE：DF的值；
（2）连接EF，设点B与点E间的距离为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）设直线DF与直线AB相交于点G，△EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

我来帮你回答第三问 （3）建立直角坐标，令A（0，0），B（0，3），从而确定C（4，0），设BE=a，即E（0，3-a），下面求F和G的坐标

∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠EDF=90°，∴易证△BDA∽△BAC，即BD/AB=AD/AC，即BD/AD=AB/AC=3/4，易证△BDE∽△ADF，即BE/AF=BD/AD=3/4，∴AF=4BE/3=4a/3，即F（
4a/3，0）

求G的坐标即求直线AB和直线DF的交点，∵A（0，0），B（0，3），∴直线AB的方程为x=0。

∵△BDA∽△BAC，∴AB²=BD×BC，即BD=AB²/BC=9/5，∵B（0，3），BD=9/5，设D（x,y），根据两点间距离公式可得二元二次方程x²+（y-3）²=（9/5）²，又∵B（0，3），C（4，0），可得直线BC方程为3x+4y=12，解此二元二次方程组x²+（y-3）²=（9/5）²和3x+4y=12，解得x=36/25和x=-36/25，∵A（0，0），B（0，3），C（4，0），∴点D一定在第一象限，即x﹥0，即x=36/25，将x=36/25代入3x+4y=12得y=48/25，∴D（36/25，48/25），∵F（4a/3，0），D（36/25，48/25），∴直线DF方程为36x-（27-25a）y=48a。

联合直线AB方程x=0可得y=48a/（25a-27），即G[0，48a/（25a-27）]

在△EFG中，E（0，3-a），F（4a/3，0），G[0，48a/（25a-27）] ，由两点间距离公式得出以下等式
①EF²=（1/9）（25a²-54a+81）
②EG²=（54a-25a²-81）²/（25a-27）²=81EF^4/（25a-27）²
③FG²=[400a²（25a²-54a+81）]/9（25a-27）²=（400a²EF²）/（25a-27）²

如果△EFG是等腰三角形，则当EF=EG时，则②式变为EF²=81EF^4/（25a-27）² ，即（25a-27）²=81EF²，将①式代入②式得出a=0或a=54/25，∵0＜a＜3，∴a=54/25

当EF=FG时，则③式变为EF²=（400a²EF²）/（25a-27）²，即（25a-27）² =400a²，解得a=27/5或a=3/5，∵0＜a＜3，∴a=3/5

当EG=FG时，即EG²=FG²，由②式和③式得81EF^4/（25a-27）²=（400a²EF²）/（25a-27）²，化简得81EF² =400a² ，将①式代入去得a=27/25或a=-27/7（舍去），∵G[0，48a/（25a-27）]，∴a≠27/25，否则DF⊥AC于F，此时直线DF与直线AB平行不相交，故此EG≠FG

∴当BE=54/25（EF=EG）或BE=3/5 （EF=FG）而EG≠FG时，△EFG是等腰三角形