无界函数可以有上界或者下界吗？

Question

如题所述

Answer 1

无界函数的特性在于其不满足有界函数的定义，即并非所有函数都必须既有上界又有下界。根据定义，若一个函数仅有上界而没有下界，或者仅有下界而没有上界，那么它就被归类为无界函数。例如，函数f(x) = x²，它有下界0但没有上界，这就证明了无界函数可以存在没有下限的情况。

有界函数是指满足特定条件的函数，即对于定义域E内的任何x，都存在常数m和M，使得m≤f(x)≤M。这意味着函数的值域是有范围的。然而，这并不意味着所有有界函数都是连续的，它们的值域可能只是数集上有限的区间。

对于数列而言，如果函数f(x) = sinx定义在自然数集合N上，尽管其值在x接近-1或1时会无限增大，但由于数列的限制，整体上它仍是一个有界函数。这表明无界性并不绝对，具体取决于函数的定义和区间。

总结来说，无界函数是可以只有上界或下界的，但不能同时具备两者，它们的值域可能具有特定的边界限制，但不意味着整体上是有限的。