对称矩阵的特征值怎样求？

Question

如题所述

Answer 1

证明如下：

设λ1,λ2是两个A的不同特征值,α1,α2分别是其对应的特征向量,有

A * α1 = λ1 * α1,A * α2 = λ2 *α2

分别取转置,并分别两边右乘α2和α1,得

α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2,α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1 

对应相减并注意到α2' * A' * α1=（α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2 

所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0

而 λ1 - λ2≠ 0,因此 α1' * α2 = 0

即 α1与α2 正交.

在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。

扩展资料

基本性质

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。