勾股定理的最简单的十种证明方法的回答如下：
方法一：
利用余弦定理证明勾股定理。设三角形ABC的三个边分别为a、b、c，且角C为90度。根据余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosC。
因为角C等于90度，所以cosC等于0。所以c^2=a^2+b^2。又因为角A，角B，角C是三角形ABC的三个内角，所以角A和角B都等于90度。所以a^2=b^2+c^2-2bc。同理可得到b^2=c^2+a^2-2ac。所以a^2+b^2=c^2。
方法二：
利用面积证明勾股定理。设三角形ABC的三个边分别为a、b、c，且角C为90度。根据三角形面积公式：面积=1/2ab。当角C等于90度时，面积也可以表示为：面积=1/2c^2。所以1/2ab=1/2c^2。得到a^2+b^2=c^2。
方法三：
利用正弦定理证明勾股定理。设三角形ABC的三个边分别为a、b、c，且角C为90度。根据正弦定理：sinA=a/c。当角C等于90度时，sinA也可以表示为1/√0。根据勾股定理：a^2+b^2=c^2。得到a^2+b^2=(sinA)^2c^2。所以a^2+b^2=c^2。
拓展知识：
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理可以用于解决各种实际问题，包括建筑设计、航海、天文观测等领域。
勾股定理的历史非常悠久，可以追溯到公元前11世纪的中国古代数学家商高时期。在西方，勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯证明并得名的。
勾股定理有很多证明方法，其中比较简单的一种是利用余弦定理证明。余弦定理是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦值的积的两倍。根据余弦定理，可以得到勾股定理的证明方法。
另外，勾股定理还可以通过面积证明方法来证明。面积证明方法是通过比较两个具有相同底和高的三角形面积来证明勾股定理。这种方法比较直观易懂，适合于初学者。
总之，勾股定理是一个非常重要的几何定理，在数学和实际生活中都有着广泛的应用。