可以先证明欧几里德空间中的柯西–布尼亚科夫斯基不等式，然后将其一举应用到离散形式和积分形式。
欧几里德空间是指带有内积运算的线性空间。对于其中任意两个元素α，β，定义一个二元实函数(α，β)，具有性质:
1.(α，β)=(β，α)
2.(α+β，γ)=(α，γ)+(β，γ)
3.(α，α)≥0，当且仅当α是零向量时取等号。
需要注意的是内积运算到底怎么算并无规定，只要满足上述三条性质即可。因此这里说的是广义的内积。
下面证明柯西–布尼亚科夫斯基不等式:
|(α，β)|≤‖α‖‖β‖，其中‖α‖是√(α，α)，即α的长度。
置γ=α+kβ，其中k是待定系数。
则(γ，γ)=(α，α)+2k(α，β)+k²(β，β)≥0
现在取k=-(α，β)/(β，β)
带入上式，得:
(α，α)-2(α，β)²/(β，β)+(α，β)²/(β，β)
从而(α，α)≥(α，β)²/(β，β)
立得(α，β)²≤(α，α)(β，β)
两边开方，不等式得证。
现在马上令[a,b]上的全体连续函数的集合为一个线性空间，定义内积运算(f,g)=∫ f(x)g(x)dx显然这是一个欧几里德空间。利用柯西不等式，立即有积分结果。
二维形式的证明:
（a2+bB）=（c2+d2）
=a2×2+b2×d2+a2×d2+b2×c2
=（ac+bd）2+（ad-bc）22（ac+bd）2（a，b，c，dE R）
等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
三角形式的证明:
（Va2 +b'+Vee+df）2
=a2+b2+c2+d2+2Va2+b°×Vc+de
≥a2+b2+C2+d2+2lac+bdl
2a2-2ac+c2+b2-2bd+d2
=（a-c02+（b-d）2两边开平方得：
Va-+'+ve+df2（a-c）2+（0-d）。
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