设三角形ABC的内角ABC的对边为abc，（a+b+c)（a-b+c)=ac.①求B ②若SI

Question

设三角形ABC的内角ABC的对边为abc，（a+b+c)（a-b+c)=ac.①求B ②若SINASINC=√3-1/4求C

Answer 1

因为 (a+b+c)(a-b+c)=ac
所以 [(a+c)+b][(a+c)-b]=ac
所以 (a+c)²-b²=ac
所以 a²+c²-b²=-ac
所以 cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=-1/2
所以 B是120°

所以 A=180°-120°-C=60°-C
所以 sin(60°-C)sinC=(√3-1)/4
所以 (sin60°cosC-cos60°sinC)sinC=(√3-1)/4
所以 (√3/2)sinCcosC-(1/2)sin²C=(√3-1)/4
所以 (√3/4)sin(2C)-(1/4)+(1/4)cos(2C)=(√3-1)/4
所以 (√3/2)sin(2C)+(1/2)cos(2C)=√3/2
所以 cos60°cos(2C)+sin60°sin(2C)=√3/2
所以 cos(2C-60°)=cos(±30°)
所以 2C-60°=±30°
所以 C=45°或者 C=15°

Answer 2

(a+b+c)(a-b+c)=ac.
a^2+c^2-b^2+2ac=ac
a^2+b^2-c^2=-ac
由余弦定理得：cosB=(a^2+b^2-c^2)/2ac= -1/2
又因为0＜B＜π，所以∠B=120度

∠A＝180°-120°-∠C=60°-∠C
sinAsinC= (√3-1)/4
sin(60°-C)sinC=(√3-1)/4.
√3cosCsinC/2-sin²C/2=(√3-1)/4
√3sin(2C)/4-[1-cos(2c)]/4=(√3-1)/4
sin(2C+30°)=√3/2
∠C=15°或45°