一元三次四次方程的求根公式 四次以上是不是真的没有公式了

Question

我在一本书上看见说有一元三次四次方程的求根公式
问下哪位大哥大街知道告诉下
还有上面说19世纪的数学家阿贝尔说一般四次以上没有后来又又数学家做出彻底回答问题 可是到底是有还是没有呢？

Answer 1

正式的说法是：五次及五次以上的方程一般没有初等的求根公式。
这是阿贝尔最先证明的，使用了群论的知识，在大学里学“近世代数”（“抽象代数”）课程时会提到。

这里说的初等求根公式是指用加、减、乘、除、乘方、开方运算通过有限次运算得到。之所以要限制次数有限，是因为，任何一个多项式方程的实根都是可以通过“折半法”或是“牛顿折线法”得到（通过逐步逼近，无限步后总是可以得到方程的根）。

四次以上的方程没有一般的求根公式，并不表示特殊情况下没有求根公式。如x^n=b，（n>4），显然是有求根公式的（开方即可，高中时学了复数，可以求出他的全部n个根），但是对于一般情形没有初等求根公式。

但是，阿贝尔（Abel）英年早逝，29岁就死于贫困和疾病（家里穷，得了肺结核无钱医治，到死后第三天才收到美国一所大学的聘书），没有完全解决什么情况下有初等求根公式，什么情况下没有。这一工作是由后来法国的天才数学家伽罗华（Galois）最终完成的。

伽罗华利用群论的知识彻底解决了什么情况下高次方程有初等的求根公式，什么情况下没有。但是他的论文写得很糟糕（文句不好，表达很差，让人难以理解），生前一直不能发表。他23岁死于决斗。死后近半个世纪论文才得以发表，而且发表多年一直未受到重视，直到伟大的代数学家阿丁（Artin）重新整理，写成容易懂的讲义，伽罗华的成果才得到大家的认可。

Answer 2

高于四次不是没有公式，是没有用根式表示的公式，但如五次方程就可以用椭圆函数或三角函数解出准确值。

Answer 3

解一元三次方程
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。方法如下：
（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得
（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化为
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。本回答被提问者采纳