凹函数不等式的证明

Question

凹凸函数证明不等式
x·ln(x)+y·ln（y）>(x+y)`ln((x+y)/2) (x>0 ,y>0 ,x≠y );

Answer 1

设函数：f(x)=xlnx,定义域：x>0.
f'(x)=1+lnx
f''(x)=1/x>0
所以f(x)是凹函数.
那么[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
xlnx+ylny>2*[(x+y)/2]ln[(x+y)/2]
xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]