直线与圆相交,弦长怎么求?

Question

如题所述

Answer 1

当一条直线与一个圆相交时，我们可以通过计算形成的弦长来确定它们的相交部分。弦是连接圆上两个点的线段，它会截断圆的一部分，并且其长度可以表示为两点之间的距离。
要计算弦长，我们需要知道直线与圆的位置关系以及圆的半径。下面是计算弦长的详细步骤：
步骤 1: 给出直线与圆的位置关系
- 如果直线经过圆心，那么我们将得到一个直径，弦长即为圆的直径。
- 如果直线与圆相交于两个点，那么我们将得到一个弦。
步骤 2: 计算弦长
- 找到圆上与直线相交的两个点。这些点将成为弦的两个端点。
- 使用点之间的距离公式来计算弦长。假设两个点的坐标分别为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，那么弦长 L 可以使用以下公式计算：L = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
让我们通过一个具体的例子来说明。
例子：
假设我们有一个半径为 5 的圆，它的圆心位于坐标原点 (0, 0)。而直线的方程为 2x + 3y - 6 = 0。我们需要计算直线与圆相交的弦长。
步骤 1: 直线与圆的位置关系
我们可以通过将直线方程代入圆的方程 (x^2 + y^2 = r^2) 中来判断直线与圆的位置关系。代入后计算得到 2x + 3y - 6 = 0 方程的根为 (2, 0) 和 (0, 2)。因此，直线与圆相交于两个点。
步骤 2: 计算弦长
现在，我们需要计算通过这两个相交点的弦长。
第一个相交点为 (2, 0)，第二个相交点为 (0, 2)。将这两个点的坐标代入弦长公式，我们可以计算得到：
L = √((2 - 0)^2 + (0 - 2)^2)
= √(4 + 4)
= √8
≈ 2.83
因此，在这个例子中，直线与圆相交形成的弦长约为 2.83。

Answer 2

设圆的半径为R,直线方程为Ax+By+C=0,圆心坐标为（Xo,Yo).
则圆心到直线的距离d为：d=|AXo+BYo+C|/根号（A平方+B平方）。
根据垂径定理，弦长的一半为根号（R平方-d平方）。
所以弦长为2乘以（R平方-d平方）