二阶导数小于0，函数图像是凸起的吗？

Question

如题所述

Answer 1

二阶导数小于0，函数图像确实是凸起的，但在定义上它是凹函数（任意两点的弧段总在这两点连线的上方）。

反之，二阶导数大于0，函数图像是凹下去的，在定义上是凸函数（任意两点的弧段总在这两点连线的下方）。

定理 设函数y=f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在(a,b)内， f(x)>0，则曲线y=f(x)在[a,b]上是凹的. （2）若在(a,b)内， f(x)<0，则曲线y=f(x)在[a,b]上是凸的。

二阶导数符号与函数凹凸性之间的关系

观察下图凹函数的切线，切线的斜率似乎在不断增大。

实际上也确实如此，凹函数的切线斜率随着x的增大而增大，相对的，凸函数的切线斜率随着x的增大而减小，又二阶导数的几何意义正是图像切线的斜率，便对应起来。即：函数为凹函数，则二阶导数大于0，函数为凸函数,则二阶导数小于零。