limx趋向无穷大的极限怎么求呢？

Question

如题所述

Answer 1

要求极限 lim(x∞) (ln(x)/x)，我们可以使用L'Hôpital法则来求解。L'Hôpital法则适用于形式为 0/0 或 ∞/∞ 的极限。

首先，我们将极限的形式转化为 0/0 形式。我们有：

lim(x∞) (ln(x)/x) = lim(x∞) (1/x) / (1/ln(x))

现在，我们可以对分子和分母同时求导数。对于分子，导数为 -1，对于分母，导数为 (1/ln(x)) * (1/x)。应用L'Hôpital法则，我们有：

lim(x∞) (ln(x)/x) = lim(x∞) (-1) / ((1/ln(x)) * (1/x))

接下来，我们可以简化表达式：

lim(x∞) (ln(x)/x) = lim(x∞) (-x/ln(x))

现在，我们可以看到当 x 趋向无穷时，分子和分母都趋向无穷，所以我们可以再次应用L'Hôpital法则。对于分子，导数为 -1，对于分母，导数为 (1/ln(x)) * (1/x)。应用L'Hôpital法则，我们有：

lim(x∞) (ln(x)/x) = lim(x∞) (-1) / ((1/ln(x)) * (1/x))

再次简化表达式：

lim(x∞) (ln(x)/x) = lim(x∞) (-x/ln(x))

我们可以看到这是一个形式相同的极限，所以我们可以再次应用L'Hôpital法则。对于分子，导数为 -1，对于分母，导数为 (1/ln(x)) * (1/x)。应用L'Hôpital法则，我们有：

lim(x∞) (ln(x)/x) = lim(x∞) (-1) / ((1/ln(x)) * (1/x))

再次简化表达式：

lim(x∞) (ln(x)/x) = lim(x∞) (-x/ln(x))

我们可以看到这是一个循环的过程。每次应用L'Hôpital法则，分子都变为 -1，分母都变为 (1/ln(x)) * (1/x)。因此，我们可以得出结论：

lim(x∞) (ln(x)/x) = -1

所以，当 x 趋向无穷时，ln(x)/x 的极限为 -1。