求由双曲线X2/4-Y2=1的右支和直线y=0，y=2，x=0所围成的平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周所得几何体的体积

Question

求由双曲线X2/4-Y2=1的右支和直线y=0，y=2，x=0所围成的平面图形分别绕x轴、y轴旋转一周所得几何体的体积。

Answer 1

解：见下图，设绕x轴旋转体的体积为Vx，绕y轴旋转体的体积为Vy；

Vx=2π∫(0,2)y*xdy=2π∫(0,2)y[2√(1+y^2)]dy=2π∫(0,2)√(1+y^2)]d(1+y^2)

=2π*[(2/3)√(1+y^2)^3](0,2)=(4π/3)[5√5-1)。

Vy=π∫(0,2)x^2dy=π∫(0,2)[4(1+y^2)]dy=4π(y+y^3/3)(0,2)=4π(2+8/3)=56π/3。