求函数的值域

Question

求y=[√（x^2+1）]/（x—1） 的值域 最好给下具体过程
各位能不能说一下求导的做法，我用求导的方法只求出了一半的值域

Answer 1

可用判别式法：
去分母：y(x-1)=√(x^2+1)
两边平方：y^2*x^2-2y^2*x+y^2=x^2+1
整理得：(y^2-1)x^2-2y^2*x+y^2-1=0；
（1）当y^2=1时，方程为-2x=0，得x=0，在定义域内，所以y^2=1可取，y=±1；
（2）当y^2≠1时，判别式：△=4y^4-4(y^2-1)^2=8y^2-4≧0，
得y^2≧1/2，即y≦-√2/2或y≧√2/2；
综上，值域为：y≦-√2/2或y≧√2/2

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！追问

能不能说一下求导的做法
我当时是这样的；
y在(-∞,-1)递增，在（-1,1）递减，在（1，+∞）上递减 然后它的最大值应是f(-1)=-√2/2
但这显然不对，f(x)可为正数，麻烦看看我错在哪，拜托了啊

追答

“在（-1,1）递减，在（1，+∞）上递减，然后它的最大值应是f(-1)=-√2/2”
它在x=1处断开了，你就联想一下反比例函数y=1/x，我把它的定义域限制在【-1,1】
y=f(x)=1/x在(-1,0)上递减，在(0,1)上递减，照你的意思就是最大值为f(-1)喽？
自己好好想想这对不对。。。

（定义域断开处不能用单调性判断最值）

Answer 2

定义域{x≠1}
值域
(-∞,√2)∪(√2,+∞)

Answer 3

定义域：x≠1
值域：当x≠1时，y取一切实数。

Answer 4

y=[√（x^2+1）]/（x—1） 定义域为x≠1， x∈R
y（x—1）=[√（x^2+1）]
[y(x-1)]^2=x^2+1
(y^2-1)x^2-2y^2x+y^2-1=0
分类讨论
y^2-1=0, y=1, -1, 则x=1/2。 :. y=1, -1 符合要求
y^2-1≠0
判别式>=0
(2y^2)^2-4(y^2-1)(y^2-1)>=0
2y^2>=1, :. y>=√2/2， 或y<=-√2/2追问

能不能说一下求导的做法
我当时是这样的；
y在(-∞,-1)递增，在（-1,1）递减，在（1，+∞）上递减 然后它的最大值应是f(-1)=-√2/2
但这显然不对，f(x)可为正数，麻烦看看我错在哪，拜托了啊

追答

求导用来求极值，现在是求值域，x>1时，可导但没有极值。
其次，在（1，+∞）上递减，你如何知道递减，确实是递减
求导方法可以求出极值点x=-1
我再看看视乎x>1时，值域也不对，应该大于1. 我简单的看了当x>1时，y>√x^2/(x-1)=x/(x-1)
y=(x-1+1)/(x-1)=1+1/(x-1)>1
:. 上面解法得出的y>=√2/2, 通过分析有问题，哪里出问题，我检查一下再说。
x<1时，y<0, y<=-√2/2 这个结果没错。

Answer 5

y=f(x)=√(x^2+1)/(x-1)=√[(x-1)^2+2x]/(x-1)。
若x-1>0，令t=x-1,则x=t+1,f(t)=√(t^2+2t+2)/t=√(1+2/t+2/t^2)>1；
若x-1<0，令1-x=t，则x=1-t,则,y=-√[(1-x)^2+2x]/(1-x)=-√(1+2/t^2-2/t),再令1/t=k(k>0),f(k)=-√[2(k-1/2)^2+1/2]<-√2/2。
综上所述{y|y≤-√2/2或y>1}。
这题很简单的，分母大于零，就直接带入根号里面，用正数的倒数大于零；分母小于零，就加符号带入进去，里面就是二次函数的求最值的方法。

Answer 6

定义域{x≠1}
y'=-(x+1)/[(x+1)^2√(x^2+1) ]
当x<1时，y在(-∞,-1)递增，在（-1,1）递减，所以y<=f(-1)=-√2/2,
当x>1是y单调递减，又因为y=[√（x^2+1）]/（x—1）=√（x^2+1/(x^2+1-2x）
所以y>1.
综上值域为(-∞,-√2/2]∪(1,+∞)追问

兄弟，你分错类了吧，y'=-(x+1)/[(x+1)^2√(x^2+1) ] 的零点貌似是x=-1吧
我当时是这样的；
y在(-∞,-1)递增，在（-1,1）递减，在（1，+∞）上递减 然后它的最大值应是f(-1)=-√2/2
但这显然不对，麻烦看看我错在哪，拜托了啊

追答

定义域是{x≠1}，所以把函数y分成两部分来考虑，(-∞,1)及（1，+∞），
然后再考虑零点来分类，y在(-∞,-1)递增，在（-1,1）递减是属于x>1的分类中的求最大值的问题。当x>1时，当x接近x=1时，y接近+∞，x接近+∞时，y接近1.（再者说，当x>1时y>0，所以你的答案很明显是错误的，如果不明白的话，就可以画下图形来明白。）

定义域是{x≠1}，所以把函数y分成两部分来考虑，(-∞,1)及（1，+∞），
然后再考虑零点来分类，y在(-∞,-1)递增，在（-1,1）递减是属于x>1的分类中的求最大值的问题。当x>1时，当x接近x=1时，y接近+∞，x接近+∞时，y接近1.（再者说，当x>1时y>0，所以你的答案很明显是错误的，如果不明白的话，就可以画下图形来明白。）