“正特征”值即为“正惯性指数”,同理“负特征”值即为“负惯性指数”。
特征值简介:
特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维 列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个特征值(characteristic value)或 本征值(eigenvalue)。非零n维列向量x称为 矩阵A的属于(对应于)特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量。又称 本征值 ,英文名eigen value。“特征”一词译自德语的eigen,由 希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用( 赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念)。eigen一词可翻译为“自身的”,“特定于...的”,“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。
基本定义:
设 A为n阶矩阵,若存在 常数λ及n维 非零向量x,使得 Ax=λx,则称λ是矩阵 A的特征值,x是 A属于特征值λ的特征向量。
A的所有特征值的全体,叫做A的谱,记为:
广义特征值:
如将特征值的取值扩展到 复数领域,则一个广义特征值有如下形式: A ν=λ B ν
其中 A和 B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解方程( A-λ B) ν=0,得到det( A-λ B)=0(其中det即行列式)构成形如 A-λ B的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项,称为一个“丛(pencil)”。
若 B可逆,则原关系式可以写作:
,也即标准的特征值问题。当 B为非可逆矩阵(无法进行逆变换)时, 广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
如果 A和 B是 实对称矩阵,则特征值为 实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显,因为
A矩阵未必是对称的。
求特征向量:
设 A为n阶 矩阵,根据关系式 Ax=λx,可写出(λ E- A)x=0,继而写出 特征多项式 |λ E- A|=0,可求出矩阵 A有n个特征值(包括重特征值)。将求出的特征值λi代入原特征多项式,求解方程(λi E- A)x=0,所求 解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。