怎样计算方阵的特征值，特征向量

Question

如题所述

Answer 1

如果有两个线性无关且正交归一的向量e1,e2(总可以对他们进行线性组合使得正交归一的），在n维线性空间中取一组正交归一基e1,e2,e3...en,这总是可以办到的。
于是得到一个正交阵b=(e1,e2,...en),记x=(e3,e4...en)
正交变换
c=b(t)ab=(e1,e2,x)(t)a(e1,e2,x)=(e1(t),e2(t),x(t))(λ0e1,λ0e2,ax)
=(λ0e(2*2),d)
0,
f
因为是正交变换，因此c和a的特征多项式相同，即det(c-λe)=det(a-λe)
但是det(a-λe)=det(c-λe)=(λ0-λ)^2*det(f-λe((n-2)*(n-2))
由此得到λ0是a的特征多项式的二重根，与它是单根矛盾。
上述证明轻易推广到到“特征多项式的一个m重根最多对应m个线性无关特征向量”。当然m>1的情况下不能保证一定有m个线性无关特征向量,但是至少有一个。

Answer 2

在matlab中，可以用eig函数计算矩阵的特征值和特征向量。举例如下：
1
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22
>>
a
=
[1,
2,
3;
4,
5,
6;
7,
8,
9]
%
原始数据矩阵
a
=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
>>
[V,
D]
=
eig(a)
%
特征值分解，其中V的每一列表示矩阵a的一个特征向量，D是一个对角矩阵，对角线上的元素表示矩阵a的特征值
V
=
-0.2320
-0.7858
0.4082
-0.5253
-0.0868
-0.8165
-0.8187
0.6123
0.4082
D
=
16.1168
0
0
0
-1.1168
0
0
0
-0.0000