证明题,可能会有多种方法,但不用拉格朗日定理以及任何带导数形式的做法

Question

支持多种做法,采纳答案不唯一!
证明:k/(n+k)＜ln(1+k/n)<k/n

Answer 1

首先，既然题目出现了ln，本质上就需要e，所以极限是一定要用到的。
如果不想用导数的话，必须会证明一些基本结论。
1. Bernoulli不等式的特殊情形：(1+u)^m > mu，其中u>-1，m是正整数
这个用归纳法就行了
2. lim_{u->oo} (1+1/u)^u=e，其中u是实数
这个要利用数列极限 lim_{n->oo} (1+1/n)^n=lim_{n->oo}(1+1/(n+1))^n=lim_{n->oo} (1+1/n)^{n+1}=e，并利用[u] <= u < [u]+1来证明。
3. 当然，还需要一些基本工具，比如极限的夹逼性质、保序性质、Heine定理等等。

然后你的问题两边都可以归结到e^x > 1+x 其中x>0或-1<x<0，那么只要利用
e^x = lim_{y->oo} (1+1/y)^yx
由Heine定理，可以取子列y(n)=n/x，得到
e^x = lim_{n->oo} (1+x/n)^n
然后用Bernoulli不等式(1+x/n)^n>1+x，取极限就是e^x>=1+x，再利用一下 (1+x/n)^n 关于n的单调性就知道其中的等号取不到。

不过吧，导数只不过是特殊的极限，不允许用导数很没有道理，我记得现在即使是高中里也有相关知识了。