非满秩阵和一个满秩阵相乘，乘积为非满秩阵，如何证明——不许用矩阵的行列式性质

Question

如题所述

Answer 1

其实可以反正
AB=C 其中B是满秩
设C也为满秩
那么B,C都可以未接为若干个初等矩阵
可以把B化为一个行或列满秩阵
然后按行或列分解为m个线性方程，根据线性方程的性质
方程只有唯一解，那么AB=0只有0解，从而矛盾

Answer 2

知识点: 1. r(AB) <= min{r(A),r(B)}
2. 若P,Q可逆, 则 r(PA) = r(A) = r(AQ) = r(PAQ)

用1,2都可证明你的结论.本回答被提问者采纳