x的a次方的导数（a是常数）的推导过程。（=axa-1次方为什么）

Question

如题所述

Answer 1

其实这道题很简单，就是幂求导公式。
下面给你推到过程：
由于这是一个基本公式，只能从定义出发进行证明了。
(x^a)'=lim{[(x+△x)^a-x^a]/△x} (注：^为次方，极限为△x→0，教材上有类似）
=lim{(x+△x-x)[(x+△x)^(a-1)+x(x+△x)^(a-2)+x^2(x+△x)^(a-3)+.......+x^(a-1)]/△x}
(注：将[(x+△x)^a-x^a]展开，△x→0）
= lim{△x[(x+△x)^(a-1)+x(x+△x)^(a-2)+x^2(x+△x)^(a-3)+.......+x^(a-1)]/△x}
=lim[(x+△x)^(a-1)+x(x+△x)^(a-2)+x^2(x+△x)^(a-3)+.......+x^(a-1)]
又因为△x→0，所以
=x^(a-1)+xx^(a-2)+.......+x^(a-2)x+x^(a-1)
=ax^(a-1) □ 证毕
对上面两个证明进行说明：
第一个证明取对数，忽略了x的定义域；
第二个证明默认a是整数。

Answer 2

f(x)=x^a= x x x ... x a个x
f'(x)=(x)'(x x ...x) +x (x)' x x x...x+ x x...x (x)' 共a组，各有a-x个x和一个x'导数
= a x^(a-1)

Answer 3

f(x)=x^a=e^(alnx)
f'(x)=[e^(alnx)](alnx)'
=(x^a)(a/x)
=ax^(a-1)追问

为什么f'(x)=[e^(alnx)](alnx)'？为什么=(x^a)(a/x)
这两步是怎么来的？

追答

就是复合函数的求导法则啊
y=f(u) u=ψ(x)
y'=f'(u)ψ'(x)
这题f(x)=e^u u=alnx
是一个复合函数
所以f'(x)=[e^(alnx)](alnx)'
而e^(alnx)=x^a (alnx)'=a/x
所以f'(x)=[e^(alnx)](alnx)'=(x^a)(a/x)

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Answer 4

已经有了最佳答案了吗？