循环小数可以表达成分数吗？

Question

如题所述

Answer 1

假定√2 = p/q，其中p、q为互质整数，则有

p^2 = 2*q^2 为偶数 ...........................(1)
p^2为偶数，所以p必定是偶数，可以表达为p = 2k
由互质条件q就不能是偶数，只能是奇数。.........(2)

所以 p^2 = 4*k^2 = 2*q^2(考虑(1)式得到)，所以 q^2 = 2*k^2 也应是偶数，与上述(2)矛盾........原假设不成立，所以√2不能表达成分数，自然不会是循环小数了。
无限循环小数化成分数
有两个方法
1、等比数列法（见高二）
2、小学记忆法
例如：0.333.....＝1/3
0.214214214214214....=214/999
简单说每一个循环节为分子，循环节有几位数分母就写几个9
0.3333......循环节为3 0.214.....循环节为214
0.52525252....循环节为52，所以0.525252...＝52/99

--------

1 任何一个有限小数p都可以表示为分数.
方法: 设它最低位为小数点后k位, 那么把令q = p * 2^k, 则q为一个整数. q/ 2^k 就是所求的分数, 约分即可

2 任何一个无限循环小数p可以表示为分数.
方法: 拆分 p = p1 + p2, 其中p1是有限小数, p2是纯粹循环节部分.
由1可知, p1能表示为分数; 那么假如循环节p2能表示为分数, 则p可以表示为分数.

设循环节有k位, 那么考虑下面的小数:
A = 0. n1 n2 ... nk n1 n2 .. nk n1 n2 .. nk ... (注意,n1~nk是循环节k位的数字, 这里不是乘法 )
设A = x/y
观察除法算式:

0.n1 n2 ... nk
y / x.0 0 ... 0 0000000000000000...
x
显然有:
y* [ n1 n2 ... nk ] + A = A * 2^k
其中 [ n1 n2 ... nk ] 为一个每位是n1~nk的k位整数
这是一个一次整数方程, 解之即得A的分数形式

移位即得p2的分数形式, 则 p = p1 + p2 可表为分数

3 任何一个无限不循环小数都不能表示为分数.
证明:
1 任何分数都可以表示为有限或者无限循环小数.
设分数为p/q, 除法式时每位余数必然是一个小于q的整数, 其排列有限,若不除断则必然在q次之内重复出现. 于是循环
2 假设无限不循环小数p 能表示为分数x, 则该分数x必能表为有限或无限循环小数p'.
由小数的唯一性知 p!= p', 与假设矛盾, 证毕