求这些题目的解答过程

Question

如题所述

Answer 1

求下列微分方程的通解或特解
(2). y'+2xy=4x
先求齐次方程 y'+2xy=0的通解：
分离变量得dy/y=-2xdx；积分之得 lny=-x²+lnc;
故齐次方程的通解为 y=c₁e^(-x²)；
将c₁换成x的函数u，得y=ue^(-x²)............①
将①对x取导数得y'=u'e^(-x²)-2xue^(-x²)............②
将①和②代入原方程得：u'e^(-x²)-2xue^(-x²)+2xue^(-x²)=4x
化简得 u'e^(-x²)=4x
分离变量得 du=4xe^(x²)dx
积分之得u=4∫xe^(x²)dx=2∫d(e^x²)=2e^x²+c
代入①式即得原方程的通解为：y=(2e^x²+c)^(-x²)=2+ce^(-x²).
(4). y'+ytanx=sin2x

解：先求齐次方程 y'+ytanx=0的通解：
分离变量得 dy/y=-tanxdx
积分之得 lny=-∫tanxdx=lncosx+lnc₁=ln(c₁cosx)
故y=c₁cosx，将c₁换成x的函数u，得y=ucosx............①
将①对x取导数得 y'=u'cosx-usinx...........②
将①②代入原式得：u'cosx-usinx+ucosxtanx=sin2x
化简得 u'cosx=sin2x=2sinxcosx;
分离变量得 du=2sinxdx；积分之得u=-2cosx+c;
代入①式即得原方程的通解为：y=(-2cosx+c)cosx=-2cos²x+ccosx;
(6). y'+y/x=(sinx)/x，y(π)=1;
解：先求齐次方程 y'+y/x=0的通解：
分离变量得 dy/y=-dx/x; 积分之得lny=-lnx+lnc₁=ln(c₁/x)
即y=c₁/x；将c₁换成x的函数u，得y=u/x.............①
将①对x取导数得 y'=(xu'-u)/x².............②
将①②代入原方程得：(xu'-u)/x²+u/x²=(sinx)/x
化简得 u'/x=(sinx)/x
即u'=sinx，故u=-cosx+c；代入①式即得原方程的通解为：
y=(-cosx+c)/x；代入初始条件y(π)=1得1=(-cosπ+c)/π=(1+c)/π,
故c=π-1；于是得特解：y=(-cosx+π-1)/x.
(8). y'+(2-3x²)y/x³=1; y(1)=0.
解：先求齐次方程 y'+(2-3x²)y/x³=0的通解：
分离变量得 dy/y=[(3x²-2)/x³]dx
积分之得lny=∫[(3x²-2)/x³]dx=3∫dx/x-2∫dx/x³=3lnx+1/x²+lnc₁=lnc₁x³+1/x²;
故得齐次方程的通解为：y=e^(lnc₁x³+1/x²)=c₁x³e^(-x²)；
将c₁换成x的函数u，得y=ux³e^(-x²)............①
将①对x取导数得：y'=u'x³e^(-x²)+u[3x²e^(-x²)-2ux³e^(-x²)]...........②
将①②代入原方程得：
u'x³e^(-x²)+u[3x²e^(-x²)-2ux³e^(-x²)]+(2-3x²)ue^(-x²)=1
化简得 u'x³e^(-x²)=1
即有du=[e^(x²)]dx/x³
故u=∫[e^(x²)]dx/x³, 解出此积分，代入①式极大通解，在代入初始条件，求出c，
即得特解。【自己解吧，我没时间了】