初二数学的代数问题

Question

已知多项式x³+ax²+bx+c能够被x²+3x-4整除
（1）求4a+c的值；
（2）求2a-2b-c的值；
（3）若a，b，c均为整数，且c≥a＞1，试求a，b，c的大小。

Answer 1

设：x³+ax²+bx+c被x²+3x-4被整除后的值为：x+y（因为：只有x²*x=x³，所以整除后未知数x只能是一次方）

将（x²+3x-4）*（x+y）两因式乘开可得：x³+（y+3）x²+(3y-4)x-4y

所以：a=y+3    b=3y-4   c=-4y

所以：4a+c=4*（y+3）-4y=12

2a-2b-c=2*（y+3）-2*（3y-4 ）+4y=14

因为：a，b，c均为整数，且c≥a＞1，所以-4y≥y+3＞1

分解开-4y≥y+3和y+3＞1分别求不等式可得：-0.6≥y＞-2

又因为a，b，c均为整数，所以y=-1

所以：a=2   b=-7   c=4

Answer 2

因为多项式x³+ax²+bx+c能够被x²+3x-4整除,
所以令x³+ax²+bx+c=(x-p)(x²+3x-4)
=x^3+(p+3)x^2+(3p-4)x-4p
所以 a=p+3
b=3p-4
c=-4p
(1). 4a+c=4(p+3)+(-4p)
=4p+12-4p
=12
(2). 2a-2b-c=2(p+3)-2(3p-4)-(-4p)
=2p+6-6p+8+4p
=(2p-6p+4p)+(6+8)
=14
(3).因为c≥a>1, 即
-4p≥p+3>1
所以 -2<p≤-3/5
因为a，b，c均为整数，
所以 只有p=-1
因此, a=2, b=-7, c=4.

Answer 3

𝐱𝟑+a𝐱𝟐+bx+c =（x+k）(𝐱𝟐+3x-4) =x3+(k+3)x2 +(3k-4)x-4k
则有 a=k+3,b=3k-4,c=-4k
(1)4a+c=4(k+3)-4k=12;
(2)2a-2b-c=2(k+3)-2(3k-4)+4k=14;
(3)由已知，得 -4k≥k+3>1 解得 -3/4≥k>-2