第1个回答 2012-03-20
南京市2011年初中毕业生学业考试
数 学
数学注意事项:
1. 本试卷共6页,全卷满分120分,考试时间为120分钟,考生答题全部答在答题卡上,答在本试卷上无效.
2. 请认真核对监考教师在答题卡上所有粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合,再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上.
3. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需要改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答非选择题必须0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置,在其他位置答题一律无效.
4. 作图必须用2B铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分,在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 的值等于
A.3 B.-3 C.±3 D.
2.下列运算正确的是
A.a2+a3=a5 B.a2•a3=a6 C.a3÷a2=a D.(a2)3=a8
3.在第六次全国人口普查中,南京市常住人口约为800万人,其中65岁及以上人口占9.2%.则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为
A.0.736×106人 B.7.36×104人 C.7.36×105人 D.7.36×106 人
4.为了解某初中学校学生的视力情况,需要抽取部分学生进行调查,下列抽取学生的方法最合适的是
A.随机抽取该校一个班级的学生
B.随机抽取该校一个年级的学生
C.随机抽取该校一部分男生
D.分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取10%的学生
5.如图是一个三棱柱,下列图形中,能通过折叠围成一个三棱柱的是
6.如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为 ,则a的值是
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分,不需要写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
7.-2的相反数是________.
8.如图,过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥CD,则∠1=____________.
9.计算 =_______________.
10.等腰梯形的腰长为5㎝,它的周长是22㎝,则它的中位线长为___________㎝.
11.如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于___________.
12.如图,菱形ABCD的连长是2㎝,E是AB中点,且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积为_________㎝2.
13.如图,海边有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为______°.
14.如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,BE=CF,连接AE、BF,将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF,旋转角为a(0°<a<180°),则∠a=______.
15.设函数 与 的图象的交战坐标为(a,b),则 的值为__________.
16.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数,规定:
①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4,接着甲报5、乙报6……按此规律,后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1,当报到的数是50时,报数结束;
②若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次,在此过程中,甲同学需要拍手的次数为____________.
三、解答题(本大题共12小题,共88分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)解不等式组 ,并写出不等式组的整数解.
18.(6分)计算
19.(6分)解方程x2-4x+1=0
20.(7分)某校部分男生分3组进行引体向上训练,对训练前后的成绩进行统计分析,相应数据的统计图如下.
⑴求训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数;
⑵小明在分析了图表后,声称他发现了一个错误:“训练后第二组男生引体向上个数没有变化的人数占该组人数的50%,所以第二组的平均数不可能提高3个这么多.”你同意小明的观点吗?请说明理由;
⑶你认为哪一组的训练效果最好?请提出一个解释来支持你的观点.
21.(7分)如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.
⑴求证:△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.
22.(7分)小颖和小亮上山游玩,小颖乘会缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍,小颖在小亮出发后50 min才乘上缆车,缆车的平均速度为180 m/min.设小亮出发x min后行走的路程为y m.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系.
⑴小亮行走的总路程是____________㎝,他途中休息了________min.
⑵①当50≤x≤80时,求y与x的函数关系式;
②当小颖到达缆车终点为时,小亮离缆车终点的路程是多少?
23.(7分)从3名男生和2名女生中随机抽取2014年南京青奥会志愿者.求下列事件的概率:
⑴抽取1名,恰好是女生;
⑵抽取2名,恰好是1名男生和1名女生.
24.(7分)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).
⑴求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.
25.(7分)如图,某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度,他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量,在点C处塔顶B的仰角为45°,在点E处测得B的仰角为37°(B、D、E三点在一条直线上).求电视塔的高度h.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
26.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6㎝,BC=8㎝,P为BC的中点.动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.
⑴当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;
⑵已知⊙O为△ABC的外接圆,若⊙P与⊙O相切,求t的值.
27.(9分)如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点.
⑴如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ACB>∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE⊥CD,垂足为E,试说明E是△ABC的自相似点.
⑵在△ABC中,∠A<∠B<∠C.
①如图③,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹);
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.
28.(11分)
问题情境
已知矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?
数学模型
设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为 .
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数 的图象性质.
① 填写下表,画出函数的图象:
②
x ……
1 2 3 4 ……
y …… ……
②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质;
③在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求函数 (x>0)的最小值.
解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.
答案:
一.选择题:ACCDBB
二.填空:
7. 2 8. 36 9. 10. 6 11. 12. 13. 40 14. 90 15. 16. 4
17. 解:
解不等式①得:
解不等式②得:
所以,不等式组的解集是 .
不等式组的整数解是 ,0,1.
18.
19. 解法一:移项,得 .
配方,得 ,
由此可得
,
解法二:
,
, .
20.解:⑴训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数是 ≈67%.
⑵不同意小明的观点,因为第二组的平均成绩增加8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3(个).
(3)本题答案不唯一,我认为第一组训练效果最好,因为训练后第一组平均成绩比训练前增长的百分数最大.
21.证明:⑴∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.
∵EC=DC, ∴AB=EC.
在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,
∴⊿ABF≌⊿ECF.
(2)解法一:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∴AF=EF, BF=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D,又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB.
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC.∴口ABEC是矩形.
解法二:∵AB=EC ,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE.
又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE,
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.
又∵CE=DC,∴AC⊥DE.即∠ACE=90°.∴口ABEC是矩形.
22. 解⑴3600,20.
⑵①当 时,设y与x的函数关系式为 .
根据题意,当 时, ;当 , .
所以, 与 的函数关系式为 .
②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800( ),
缆车到达终点所需时间为1800÷180=10( ).
小颖到达缆车终点时,小亮行走的时间为10+50=60( ).
把 代入 ,得y=55×60—800=2500.
所以,当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100( ).
23. 解⑴抽取1名,恰好是女生的概率是 .
⑵分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这五位同学,从中任意抽取2名,所有可能出现的结果有:(男1,男2),(男1,男3),(男1,女1),(男1,女2),(男2,男3),(男2,女1),(男2,女2),(男3,女1),(男3,女2),(女1,女2),共10种,它们出现的可能性相同,所有结果中,满足抽取2名,恰好是1名男生和1名女生(记为事件A)的结果共6种,所以P(A)= .
24.解:⑴当x=0时, .
所以不论 为何值,函数 的图象经过 轴上的一个定点(0,1).
⑵①当 时,函数 的图象与 轴只有一个交点;
②当 时,若函数 的图象与 轴只有一个交点,则方程 有两个相等的实数根,所以 , .
综上,若函数 的图象与 轴只有一个交点,则 的值为0或9.
25.在 中, = .
∴EC= ≈ ( ).
在 中,∠BCA=45°,∴
在 中, = .∴ .∴ ( ).
答:电视塔高度约为120 .
26.解⑴直线 与⊙P相切.
如图,过点P作PD⊥AB, 垂足为D.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∵AC=6cm,BC=8cm,
∴ .∵P为BC的中点,∴PB=4cm.
∵∠PDB=∠ACB=90°,∠PBD=∠ABC.∴△PBD∽△ABC.
∴ ,即 ,∴PD =2.4(cm) .
当 时, (cm)
∴ ,即圆心 到直线 的距离等于⊙P的半径.
∴直线 与⊙P相切.
⑵ ∠ACB=90°,∴AB为△ABC的外切圆的直径.∴ .
连接OP.∵P为BC的中点,∴ .
∵点P在⊙O内部,∴⊙P与⊙O只能内切.
∴ 或 ,∴ =1或4.
∴⊙P与⊙O相切时,t的值为1或4.
27. 解⑴在Rt △ABC中,∠ACB=90°,CD是AB上的中线,∴ ,∴CD=BD.
∴∠BCE=∠ABC.∵BE⊥CD,∴∠BEC=90°,∴∠BEC=∠ACB.∴△BCE∽△ABC.
∴E是△ABC的自相似点.
⑵①作图略.
作法如下:(i)在∠ABC内,作∠CBD=∠A;
(ii)在∠ACB内,作∠BCE=∠ABC;BD交CE于点P.
则P为△ABC的自相似点.
②连接PB、PC.∵P为△ABC的内心,∴ , .
∵P为△ABC的自相似点,∴△BCP∽△ABC.
∴∠PBC=∠A,∠BCP=∠ABC=2∠PBC =2∠A,
∠ACB=2∠BCP=4∠A.∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°.
∴∠A+2∠A+4∠A=180°.
∴ .∴该三角形三个内角的度数分别为 、 、 .
28. 解⑴① , , ,2, , , .
函数 的图象如图.
②本题答案不唯一,下列解法供参考.
当 时, 随 增大而减小;当 时, 随 增大而增大;当 时函数 的最小值为2.
③
=
=
=
当 =0,即 时,函数 的最小值为2.
⑵当该矩形的长为 时,它的周长最小,最小值为 .
第2个回答 2012-03-21
2011年南通中考数学试卷
一.选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.如果60m表示“向北走60m”,那么“向南走40m”可以表示为( )
A.-20m B.-40m C. 20m D.40m
2.下面的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.计算327 的结果是( )
A.±33 B.33 C.±3 D.3
4.下列长度的三条线段,不能组成三角形的是( )
A.3,8,4 B.4,9,6 C.15,20,8 D.9,15,8
5. 已知:如图,AB ∥ CD,∠DCE=80 ° ,则∠BEF的度数为( )
A.120 ° B.110 °
C.100 ° D.80 °
6.下列水平旋转的几何体中,俯视图是矩形的是( )
7.已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根,则这个方程的另一个根是(*)
A.-2 B.2 C.-5 D.6
8.如图,⊙ O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙ O的半径等于(*)
A.8 B.4 C.10 D.5
9.甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进,A、B两地间的路程为20千米.他们前进的路程为s(单位:千米),甲出发后的时间为t(单位:小时),甲、乙前进的路程与时间的函数图像如图所示,根据图像信息,下列说法正确的是(*)
A.甲的速度 4千米/小时
B.乙的速度 10千米/小时
C.乙比甲晚出发1小时
D.甲比乙晚到B地3小时
10.设m > n > 0, m2+n2=4mn,则m2-n2mn 的值等于(*)
A.23 B.3 C.6 D.3
二.填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.已知∠α ° ,则∠α的余角等于 度.
12.计算:8 -2 = .
13.函数y=x+2x-1 中,自变量x的取值范围是 .
14.七位女生的体重(单位:Kg)分别是36、42、38、42、35、45、40,则这七位女生的体重的中位数为 Kg.
15.如图,矩形纸片A BCD,AB=2cm,点E在BC上,且AE=EC,若将纸片折叠,点B恰好与AC上的点B′重合,则AC= cm.
16.分解因式:3m(2x-y)2-3mn2= .
17.如图,测量河宽AB(假设河的两岸平行),在C点测得∠ ACB=30 ° ,点D测得∠ ADB=60 ° ,又CD=60m,则河宽AB为 m(结果保留根号).
18.已知:如图,三个半圆依次相外切,它们的圆心都在x轴的正半轴上,并与直线y=33 x相切,设半圆C1、半圆C2、半圆C3的半径分别是r1、r2、r3,则当r1=1时,r3=
三.解答题(本大题共10小题,共96分)
19.(本小题满分10分)
(1)计算:22+(-1)4+(5 -2)0-︱-3︱
(2)先化简,再求值:
(4ab3-8a2b2)÷ 4ab+(2a+b)(2a-b),其中a=2,b=1.
20.(本小题满分8分)
求不等式组3x-6≥x-42x+1>3(x-1) 的解集,并写出它的整数解.
21.(本小题满分9分)
某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况,随机抽取了若干名学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类)并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息,解答下面的问题:
(1)参加调查的学生共有 人;在扇形图中,表示“其他球类”的扇形的圆心角为 度
(2)将条形图补充完整;
(3)若该校有2000名学生,则估计喜欢“篮球”的学生共有 人.
22.(本小题满分8分)
如图,AM为⊙ O的切线,A为切点,BD ⊥ AM于点D,BD交⊙ O于点C,OC平分∠ AOB.求∠ B的度数.
23.(本小题满分8分)
列方程解应用题:
在社区全民健身活动中,父子俩参加跳绳比赛,相同时间内父亲跳180个,儿子跳210个.已知儿子每分钟比父亲多跳20个,父亲、儿子每分钟各跳多少个?
24.(本小题满分8分)
比较正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点与不同点.
例如 它们的一个相同点:正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等.
它们的一个不同点:正五边形不是中心对称图形,正六边形是中心对称图形.
请你再写出它们的两个相同点和两个不同点.
相同点:(1) (2)
不同点:(1) (2)
25.(本小题满分9分)
光明中学十分重视中学生的用眼卫生,并定期进行视力检测,某次检测设有A、B两处检测点,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力.
(1) 求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率;
(2) 求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率.
26.(本小题满分10分)
已知:如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA到点F,OD到点E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF,将△ FOE绕点O逆时针旋转α角得到△ F′OE ′(如图2).
(1) 探究AE ′与BF ′的数量关系,并给予证明;
(2) 当α=30 ° 时,求证:△AOE′为直角三角形.
27.(本小题满分12分)
已知A(1,0),B(0,-1),C(-1,2),D(2,-1),E(4,2)五个点,抛物线y=a(x-1)2+k(a > 0),经过其中三个点.
(1) 求证:C、E两点不可能同时在抛物线y=a(x-1)2+k(a > 0)上.
(2) 点A 抛物线y=a(x-1)2+k(a > 0)上吗?为什么?
(3) 求a与k的值.
28.(本小题满分14分)
如图,直线l经过点A(1,0),且与曲线y=mx (x > 0)交于点B(2,1),过点P(p,p-1)(p > 1)作x轴的平行线分别交曲线y=mx (x > 0)和y=-mx (x < 0)于M、N两点.
(1) 求m的值及直线l的解析式;
(2) 若点P在直线y=2上,求证:△PMB ∽ △PNA;
(3) 是否存在实数p,使得S△AMN=4S△APM?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.
2011年南通中考数学试题参考答案
1-10:B.C.D.A.C.B.B.D.C.A.
11.70
12.2
13.x≠1
14. 40
15.4
16.3m(2x-y+n)(2x-y-n)
17.303
18.9.
19.(1)3 (2)4a²-2ab, 12.
20.1≤x<4, 整数解为:1、2、3
21.(1)300 36 (2)略 (3)800
22.60度
23.父亲每分钟跳120个,儿子每分钟跳140个
24.正五边形的各内角相等,正六边形各内角相等;
正五边形是轴对称图形,正六边形也是轴对称图形.
正五边形不能密铺,正六边形可以密铺;
正五边形的各边不平行,正六边形的对边平行.
25.1/4, 1/2
26.(1)用边角边证明△AOE’和△BOF’全等,即可证得AE’=BF’
(2)取OE’的中点G,得到等边△AOG,等到∠AGO=60°,又由AG=E’G得到∠AE’O=30°,从而得到∠OAE’是90°,即为直角三角形。
27.解:
(1)假设C、E同时在抛物线y=a(x-1)2+k(a > 0)上,则有:
a(-1-1)2+k=2a(4-1)2+k=2 ,化简后即:4a+k=29a+k=2 ,解得a=0k=2 ,很显然,当a=0时,y=a(x-1)2+k即y=2就不再是抛物线了,而是一条直线.所以C、E不可能同时在抛物线y=a(x-1)2+k(a > 0)上.
(2)假设点A在抛物线y=a(x-1)2+k(a > 0)上,可以求得k=0.因为此抛物线还得同时经过B、C、D、E四个点中其中两个,分别把B、C、D、E四个点的坐标代入此抛物线的解析式分别求得a的值分别为:
B:a=-1;C:a=12 ;D:a=-1;E:a=29 其他两个在抛物线上的点求出来的a的值应该相同,所以只有B、D在抛物线上,但是题目要求a > 0,因此,点A不可能在此抛物线上.
(3)由(1)(2)可知,可能有两种情况:①此抛物线经过点B、点C、点D②此抛物线经过点B、点D、点E.
①假如此抛物线经过点B、点C、点D成立,将此三点坐标代入此抛物线的解析式可得:
-1=a(0-1)2+k2=a(-1-1)2+k-1=a(2-1)2+k
解得:a=1k=-2
①假如此抛物线经过点B、点D、点E成立,将此三点坐标代入此抛物线的解析式可得:
-1=a(0-1)2+k-1=a(2-1)2+k2=a(4-1)2+k
解得:a=38k=-118
以上两组答案都符合题意.
28.解:
(1)因为点B(2,1)在此曲线y=mx (x > 0)上,将点B(2,1)代入y=mx 求得m=2.
设直线l的解析式为y=kx+b,因为直线l过A(1,0)和B(2,1),将这两个点的坐标代入直线l的解析式y=kx+b,得到:
k+b=02k+b=1 ,由此解得:k=1b=-1 ,
所以直线l的解析式为:y=x-1.
(2)点P在y=2上,即p-1=2,p=3, 所以点p的坐标为(3,2).
因此点P在直线l:y=x-1上,即点P是直线y=2与直线y=x-1的交点.
由y=2与y=2x , y=-2x 易求出M(1,2),N(-1,2),
所以PM=2,PB=2 ,PN=4,PA=22 ,
PMPB =22 =2 ,PNPA =422 =2
即PMPB =PNPA
在△PMB和△PNA中,
PMPB=PNPA∠MPB=∠NPA(公共角)
所以△PMB ∽ △PNA.
(3)假设存在满足条件的实数p,也就是存在满足条件的点P(p,p-1).由M(1,2),N(-1,2),A(1,0)易求出:
S△AMN=12 × 2 × 2=2.
由图可知,S△APM=12 •AM•(p-1)=12 × 2×(p-1)= p-1,
因此,由S△AMN=4 S△APM可得:2=4(p-1),
解得:p=32 > 1,符合题意.
所以存在实数p,使得S△AMN=4 S△APM.