3.6.2
龙格-
库塔方法
改进的欧拉法比欧拉法精度高的原因在于，它在确定平均斜率时，多取了一个点的斜
率值。这样，如果我们在[Xi,X(i+1)]上多取几个点的斜率值，然后对它们作线性组合得到平均
斜率，则有可能构造出精度更高的计算方法。这就是龙格-库塔法的基本思想。龙格-库塔
法可看作是欧拉法思想的提高，属于精度较高的单步法。
龙格-库塔法是求解常微分方程初值问题的最重要的方法之一。MATLAB中提供了几
个采用龙格-库塔法来求解常微分方程的函数，即ode23，ode45，ode113
，ode23s
，ode15s
等，其中最常用的函数是
ode23(
二三阶龙格-库塔函数)和ode45(
四五阶龙格-库塔函数)，
下面分别对它们进行介绍。
1
．二三阶龙格-
库塔函数(ode23)
函数
ode23
的调用格式如下：
(1)
[T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0)
输入参数中的'F'
是一个字符串，表示微分方程的形
式，也可以是
f
(x
,
y
)的M
文件。TSPAN=[T0
TFINAL]表示积分区间，Y0表示初始条件。
函数
ode23
表示在初始条件
Y0下从
T0到TFINAL
对微分方程
'(,)
yFty
=
进行积分。函数
F(T,
Y)
必须返回一列向量，两个输出参数是列向量
T
与矩阵
Y，其中向量
T
包含估计响应
的积分点，而矩阵
Y
的行数与向量
T
的长度相等。向量
T
中的积分点不是等间距的，这是
为了保持所需的相对精度，而改变了积分算法的步长。为了获得在确定点T0,T1,
"的解，
TSPAN=[T0
T1
TFINAL]
。需要注意的是：TSPAN中的点必须是单调递增或单调递减的。
(2)
[T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS)
其中，参数
options
为积分参数，它可由函
数ODESET
来设置。Options参数最常用的是相对误差‘RelTol’(
默认值是
1e-3)和绝对误差
‘AbsTol’(默认值是
1e-6)，其他参数同上。
(3)
[T,Y]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS,P1,P2,…)
参数P1,P2,
…可直接输入到函数
F
中去．如
F(T,Y,FLAG,P1,P2,…)。如果参数
OPTIONS为空，则输入
OPTIONS=[
]。也可
以在
ODE文件中(可参阅
ODEFILE函数)指明参数
TSPAN、Y0和OPTIONS的值。如果参
数TSPAN
或Y0
是空，则ODE23函数通过调用ODE文件[TSPAN,
Y0,
OPTIONS]
=
F([
],[
],
'init
')来获得
ODE23函数没有被提供的自变量值。如果获得的自变量表示空，则函
数ODE23会忽略，此时为
ODE23('F')。
(4)
[T,Y,TE,YE,IE]=ODE23('F',TSPAN,Y0,OPTIONS)
此时要求在参数
options
中的事
件属性设为'on'
，ODE文件必须被标记，以便
P(T,Y,'events')
能返回合适的信息，详细可参
阅函数
ODEFILE。输出参数中的
TE是一个列向量，矩阵
YE的行与列向量
TE中元素相
对应，向量
IE
表示解的索引。
2
．四五阶龙格-
库塔函数(ode45)
函数
ode45
的调用格式同
ode23
相同，其差别在于内部算法不同。如果'F'
为向量函数，
则ode23
和ode45
也可用来解微分方程组。
【例3.47
】
分别用二三阶龙格-库塔法和四五阶龙格-库塔法解常微分方程的初值问题：
解：先将微分方程写成自定义函数
exam2fun.m
function
f=exam2fun
(x,y)
f=-y-x*y.^2;
f=f(:);
然后在命令窗口输入以下语句：
>>
[x1,y1]=ode23('exam2fun',[0:0.1:1],1)
x1
=
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
y1
=
1.0000
0.9006
0.8046
0.7144
0.6314
0.5563
0.4892
0.4296
0.3772
0.3312
0.2910
>>
[x2,y2]=ode45('exam2fun',[0:0.1:1],1)
x2
=
0
0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
y2
=
1.0000
0.9006
0.8046
0.7144
0.6315
0.5563
0.4892
0.4296
0.3772
0.3312
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