如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且AF=FC=CB，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足

Question

如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且AF=FC=CB，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=3，求直径AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，OF，
∵

AF

=

FC

=

CB

，
∴∠COB=

1

3

×180°=60°，
∴∠CAB=∠CAF=∠OCA=

1

2

∠OCB=30°，
∴OC∥AD，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ACD中，∠DAC=30°，
所以AC=2CD=2

3

，
在Rt△ACB中，∠BAC=30°，AC=2

3

，
由勾股定理可求得AB=4．

Answer 2

解：（1）证明：连结OC，如图，

∵弧FC=弧BC，

∴∠FAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AF，

∵CD⊥AF，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连结BC，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵==，

∴∠BOC=×180°=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC=30°，

在Rt△ADC中，CD=2，

∴AC=2CD=4，

在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，

∴AB=2BC=4，

∴⊙O的半径为4．