函数可导和函数连续的关系

Question

可导必连续还是连续必可导？

Answer 1

我说下直观理解吧。
可导在几何图像上面理解，应该是有切线的意思。有切线就是这个曲线在很小的一段局部会很接近直线，局部越小越接近直线，所以要求这个函数曲线不但不能有断开的悬空的点，还要求这个函数曲线平滑，不能突兀（比如一个很尖的地方，那里再怎么取一小段都是尖的凸出来的，不可能是接近直线。
连续在几何图像上面理解，就是没有断开的。一个尖尖的折线也不断开，但是肯定不可导。但是反过来可导的一定连续。追问

就是说：
可导必连续。连续不一定可导？

但是 “可导”的定义里面不是说 “去心邻域”吗？那就是那个点可以是 可去间断点吧?
既然是 可去间断点 那 曲线不就是相当于断开了吗？

追答

不太清楚，我没有见过哪个教材上面说去心邻域的啊……
导数定义是[f(x0+δx)-f(x0)]/δx，让δx趋近于0的极限。表达式里面已经出现了f(x0)这个量了，就算是可去间断点也不对啊，f(x0)和f(x0+δx)相差很远，结果是一个有限量，但是分母上是无穷小就说不通了。

追问

那么说 函数在某个区间可导的 条件是什么呢？

如果函数的一个点的导数=0，这个点两侧的导数同号，
那么这个点是不是就是拐点？

追答

一个开区间可导指的是函数在这个区间每一点都可导。
一个闭区间[a,b]可导指它内部的每一点可导，而且a点存在右导数，b点存在左导数。
一个点导数等于0，左右两边同号应该是拐点，因为表明这一点是导数的一个极值点，斜率最大或者最小的地方，这一点代表一种斜率的变化，应该是拐点。

追问

拐点是不是特殊的驻点？看到网上有人说“驻点不一定是极值点”的时候解释说的是两侧导数同号，
那么这个时候不就是拐点了？既然这么说，那么为什么 “极值点是驻点而驻点不一定是极值点”

追答

对，拐点是特殊的驻点，驻点包括拐点、极值点和其他情况（貌似常函数的每个点都是驻点但是不叫拐点也不叫极值点）。
我说的拐点是导函数的极值点，拐点显然不是原函数的极值点。“极值点是驻点而驻点不一定是极值点”这句话是针对原函数说的。

Answer 2

可导必连续。连续不一定可倒追问

请问 y=绝对值x ，在x=0算不算连续？
可导的定义不是说去心邻域吗？那么如果那个心是个可去间断点 那不就不连续了？

追答

算连续，但在0点处是不可倒的

追问

是不是 画曲线的时候 只要手不断开 就可以说函数是连续的？
如果曲线出现那种硬性折断那就不可导，如果都是柔和的 曲线 那么就可导？

追答

这要看具体的题目，不能一概而论

追问

如果函数的一个点的导数=0，这个点两侧的导数同号，
那么这个点是不是就是拐点？

追答

不一定， 函数的一个点的导数=0，则这个点是 拐点，但 拐点不全都是 导数=0的点

Answer 3

连续不一定可导 可导一定连续~追问

请问 y=绝对值x ，在x=0算不算连续？
可导的定义不是说去心邻域吗？那么如果那个心是个可去间断点 那不就不连续了？

如果函数的一个点的导数=0，这个点两侧的导数同号，
那么这个点是不是就是拐点？

追答

算连续 但是不可导因为 X=0的左极限不等于右极限 在坐标轴上就一个尖尖的V 字型么~~

不好意思 没有很快回你~

Answer 4

函数的连续和可导的关系