首先明确一点是，
复变函数积分能用柯西积分公式或者留数计算的，都是闭曲线，而你说的负无穷到正无穷的积分其实是实函数的积分，就是
高等数学里的
广义积分，有些广义积分用高等数学的方法很难求出结果，但是利用复积分就很容易算，因此常构造出一条包含x轴在内的闭曲线，然后转化为求复积分去做。计算闭曲线的复变函数的积分，首先要看闭曲线内部有没有被积函数不解析的点，如果没有，积分直接等于0，如果有不解析的点，再看被积函数的形式，如果是f(z)/(z-z0)的形式或者通过简单的变形可以表示成这样形式的，就可以利用柯西积分公式。被积函数较复杂或奇点较多的话，一般考虑留数。实际上
留数定理是柯西积分公式的特例，用柯西积分公式可以做的都可以用留数定理计算，只是有些情况下留数定理使用起来较麻烦。