△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 acosC+ 1 2 c=b ．（1）求角A的大小；（2）若△A

Question

△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 acosC+ 1 2 c=b ．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的周长为3，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

∵acosC+ 1 2 c=b， ∴sinAcosC+ 1 2 sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， 整理得： 1 2 sinC=cosAsinC， ∵sinC≠0， ∴cosA= 1 2 ， ∵A为三角形内角， ∴A=60°； （2）∵A=60°， ∴a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA=b 2 +c 2 -bc≥2bc-bc=bc， ∴a≥ bc ， ∴3=a+b+c≥ bc +b+c≥ bc +2 bc =3 bc ，即bc≤1， ∴S= 1 2 bcsinA= 3 4 bc≤ 3 4 ，当且仅当b=c=a=1时，取得最大值 3 4 ．