一、从数学上看,分布函数F(x)=P(X<x),表示随机变量X的值小于x的概率。这个意义很容易理解。
概率密度f(x)是F(x)在x处的关于x的一阶导数,即变化率。如果在某一x附近取非常小的一个
邻域Δx,那么,随机变量X落在(x, x+Δx)内的概率约为f(x)Δx,即P(x<X<x+Δx)≈f(x)Δx。
换句话说,概率密度f(x)是X落在x处“单位宽度”内的概率。“密度”一词可以由此理解。
二、一元函数下.
概率分布函数是
概率密度函数的变上限积分,就是
原函数.
概率密度函数是概率分布函数的一阶
导函数.
多元函数下.
联合分布函数是联合密度函数的重积分.
联合密度函数是联合分布函数关于每个变量的偏导.
三、概率密度只是针对连续性变量而言,而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论,包括连续性和离散型;
已知连续型随机变量的密度函数,可以通过讨论及
定积分的计算求出其分布函数;当已知连续型随机变量的分布函数时,对其求导就可得到密度函数。
对离散型随机变量而言,如果知道其概率分布(分布列),也可求出其分布函数;当然,当知道其分布函数时也可求出概率分布。