数学难题：求夹角的余弦值是多少？

Question

从空间一定点O引四条射线OA、OB、OC、OD使其任何两条射线的夹角都相等，求夹角的余弦值是多少？
因本人已有四十五年没研究过解析几何了故忘了很多！就连基本的余弦定理公式都忘了！本题其实不难，谁告诉我余弦定理的计算公式如已知三边a,b,c的长度，求角A的余弦值，那么本老头就一定会解决这个问题，请回答者告诉我公式吧！因我懒得去借书。
谢谢二楼！若三天内还无人解答此题那只好自己解决了！按二楼提供的公式这个夹角的余弦值应是-1/3。本题无需动用到球的知识，只用勾股定理与余弦定理即可解决问题。设O为棱长为1的正三棱锥的高DE上的点，作EF⊥AB交于F，连结AO、FO。则AE=√3/3,DE=√6/3,EF=√3/6。AF=1/2。设OE=x,则OD=AO=√6/3-x,利用FO为中介列方程(√6/3-x)^2-(1/2)^2=x^2+(√3/6)^2解得x=√6/12,则OD=AO=√6/3-√6/12=√6/4故夹角AOD的余弦值=[(√6/4)^2+(√6/4)^2-1^2]/[2*(√6/4)*√6/4)]=-1/3。这是学生在没有学到球的有关知识之前的解答方法。在这里谢谢各位大师积极参与！

Answer 1

夹角余弦值= -1/3
利用正三棱锥，中心点向四个顶点引射线，得到四条射线，因为完全的对称，故两两夹角相等从而可以解出答案。即使甲烷（CH4）的空间结构，解出夹角为109°28′，化学上对这个角度应该很熟悉。
希望可以帮助到你。

Answer 2

由已知得，O为正三棱锥的中心，取OA=OB=OC=OD，得到正三棱锥D-ABC，O为中心点
过D向底面ABC作垂线，垂线必过O点，交底面ABC于M，连接AO，AM
设正三棱锥棱长为2，在等边△ABC中，易得AM²=4/3,在△OAM中，OA²-OM²=AM²，即OA²=OM²+AM²=OM²+4/3①
在△DAM中，AD²=AM²+DM²=AM²+（OD+OM）²=AM²+（OA+OM）²，
得（OA+OM）²=AD²-AM²=4-4/3=8/3，即OA+OM=√（8/3），OM=√（8/3）-OA带入①得
OA²=（√（8/3）-OA）²+4/3=8/3-2√（8/3）OA+OA²+4/3，两边OA²约掉得：
OA=√6/2
根据cosA = (c² + b² - a²) / (2·b·c) ，
得OA与OD的夹角的余弦cosAOD=（OA²+OD²-AD²）/（2OA·OD）=（OA²+OA²-AD²）/（2OA·OA）=（2OA²-AD²）/2OA²，解得cosAOD=-1/3

Answer 3

三条射线OA，OB，OC为三棱锥的三条棱，OD为三棱锥高的反向射线。
设棱长为a，底边为b
则OA，OB，OC夹角余弦为(2a^2-b^2)/2a^2
要使OD和三棱夹角两两相等，三棱锥的高应该为(b^2-2a^2)/2a
可求得b^2=(8/3)a^2
所以，余弦值为-(1/3)

Answer 4

将OA、OB、OC、OD作为4段长度相同的线段来处理（因为不影响结果）
1、如果四点在同一平面，则夹角为90°，余弦值为0
2、如果四点不在同一平面，那么有题目给出的条件以及4段线段长度相同可以得出ABC，ACD、ABD以及BCD都为等边三角形，所以ABCD为等边三棱锥，然后算出O点在这个三棱锥中的位置以及证明这个点的唯一性，便可以算出结果了。

（这个题目不错，很少遇到这样的好题目）追问

在同一平面不可能！因任意两条夹角都相等故不成立！唯一就是O在等边三棱锥内一点。因我六十几了，四十五年来没研究过解析几何了，故忘了很多。你能否在进一步解决问题时顺便告诉我余弦定理的公式，或许我会搞定它！若暂时无法攻克请你先告诉我余弦定理好吗？

追答

是的，我错了，只能是三棱锥内一点，抱歉。
但这个题貌似不用余弦定理也可以解的吧，只要用到最基础的几何知识。

追问

因问题要求夹角余弦值，如果不了解余弦定理公式何以求得？若能用最基础的几何知识你解解看！

Answer 5

过A作AE垂直于平面BCD，由于是正三棱锥，所以AE过O点。连接BE。

三棱锥的性质见百科：
http://baike.baidu.com/view/1708844.htm
“外接球心在顶点与底面重心的连线的距顶点3/4处。”

那么就是说，OE/OA=1/3
由于正三棱锥三心合一，所以O到各顶点长度相等，OB=OA。
那么在直角三角形BOE中，COS角BOE=OE/OB=1/3。
你要求的不就是COS角AOB么，角AOB和BOE互为补角，所以余弦互为相反数。
所以COS角AOB=-1/3

这不是一看就出来了么？哪需要用余弦定理那么麻烦……懂点基本的立体几何知识，再有点空间想象力也就直接解决了。