抽屉原理的反向概率问题： 有10个抽屉，20个球随机放入，求任意抽屉（一个或一个以上）中没有球的机率。

Question

引申来说，就是：有X个抽屉，Y个球，求任意抽屉（一个或一个以上）中没有球的机率。
请给出详细的解答思路和算法。

Answer 1

这种题目不常见到，主要是数字太大，计算不方便
有10个抽屉，20个球随机放入 ，以它为例：
主要是插空法的运用
我们把20个球一字排开（主要是因为球是相同的），那么就得到了19个间隙
我们分析19个这样的间隙的作用
显然：
当20个球全放在1个抽屉里时，这样的方式有10种（10个抽屉吗） C（19，0）*C（10，1）=10
当20个球放在2个抽屉里时，我们把一字排开的20个球的19个间隙中插入一板，将20个球分为2个部分，这就说明了分成的方式，如（1，19）（2，18）（3，17）（4，16）等共有19种方式，而再在10个抽屉中组合出两个【记为C（10，2），表示10个抽屉里面选2个】，两个相乘，就得到此时：20个球放在2个抽屉里的总数 C（19，1）*C（10，2）
同理
当20个球放在3个抽屉里时，我们把一字排开的20个球的19个间隙中插入两块板，将20个球分为3个部分，这就说明了分成的方式，如（1，1，18）等共有C（19，2）1种方式【即在原来我们分析的19个空隙中选出2个空隙，就将20球分成了3部分】，而再在10个抽屉中组合出3个【记为C（10，3），表示10个抽屉里面选3个】，两个相乘，就得到此时：20个球放在2个抽屉里的总数 C（19，2）*C（10，3）
其他的分析同理
分别得到
C（19，3）*C（10，4） 4个抽屉有球
C（19，4）*C（10，5） 5个抽屉有球
C（19，5）*C（10，6） 6个抽屉有球
C（19，6）*C（10，7） 7个抽屉有球
C（19，7）*C（10，8） 8个抽屉有球
C（19，8）*C（10，9） 9个抽屉有球
最后10个抽屉都有球的总数
C（19，9）*C（10，10） 10个抽屉有球

于是概率就等于
分子： 10+C（19，1）*C（10，2）+ C（19，2）*C（10，3）+C（19，3）*C（10，4） +C（19，4）*C（10，5） +C（19，5）*C（10，6） +C（19，6）*C（10，7） +C（19，7）*C（10，8） +C（19，8）*C（10，9） 分母：10+C（19，1）*C（10，2）+ C（19，2）*C（10，3）+C（19，3）*C（10，4） +C（19，4）*C（10，5） +C（19，5）*C（10，6） +C（19，6）*C（10，7） +C（19，7）*C（10，8） +C（19，8）*C（10，9） +C（19，9）*C（10，10）
楼主不常见这样的数字主要是不好算
我们用这样的分析方法处理计算简单的例子检验一下
比如有4个球，2个抽屉
则概率可表示为：
全在1个抽屉： C（3，0）*C（2，1）=2 3表示4个球一字排开有3个空隙，2表示2个抽屉
在2个抽屉： C（3，1）*C（2，2）=3
则概率为2/5

我们再用列举法：
（0，4）（1，3）（2，2）（3，1）（4，0）
任意一个没有球的概率为2/5
基本正确，呵呵

Answer 2

将20个球放进10个抽屉，有10^20种方法，求每个抽屉至少有一个球的概率=10^10/10^20,则任意抽屉没球为至少有1球的对立事件，1-10^10/10^20=答案追问

10^10是怎么来的？
求每个抽屉至少有一个球的概率怎么算？如果是X个抽屉Y个球呢？

追答

至少有1个球的意思是先在每个抽屉放1个球，剩下10个球随机放入10个抽屉，每个球的放法有10个，所以共有10^10中方法。

Answer 3

1楼正解