唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题：
A卷：AABCB CDDCB CB B卷：CBDAC
BACBA DB
二、填空题：
（13）(lg2，＋∞)
（14）
1 6－34
（15）4
（16）
6
三、解答题： （17）解：
（Ⅰ）1a1＝ 3 8(32
－1)＝3，
…1分
当n≥2时，
∵nan＝(
1a1＋2a2＋…＋nan)－(1a1＋2
a2＋…＋n－1an－1
)
＝ 3 8(32n－1)－ 3
8
(32n－2－1)＝32n－1， …5分
当n＝1，n
an＝32n－1也成立，
所以an＝n
3
2n－1．
…6分 （Ⅱ）bn＝log3an
n
＝－(2n－1)，
…7分
1bnbn＋1＝1(2n－1)(2n＋1)＝ 1 2(12n－1－1
2n＋1
)
， ∴1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1＝ 1 2[(1－ 1 3)＋( 1 3－ 1 5)＋…＋(12n－1－12n＋1)]
…10分
＝ 1 2(1－12n＋1)
＝n2n＋1
． …12分
（18）解：
（Ⅰ）x-甲＝ 1
8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，
x-乙＝ 1
8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
s2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，
s2乙＝ 1 8
[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82
]＝32.25．
甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）．
…4分
（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p1＝
3
8
，p2＝
1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p1p2＝3
16
， 依题意，X～B(
2，316)，P(X＝k)＝Ck2(3
16)k(1316
)
2－k
，k＝0，1，2，
…7分 X的分布列为
X 0 1 2
P
169256 78256 9
256
…10分
X的均值E(X)＝2×316＝ 3
8
．
…12分
（19）解：
（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PC， ∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝2， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC， 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．
…4分
（Ⅱ）如图，以C为原点，DA→、CD→、CP→分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)． 设P(0，0，a)（a＞0），
则E(
1 2，－ 1 2， a
2
)
， …6分
CA→＝(1，1，0)，CP→＝(0，0，a)，
CE→＝( 1 2，－ 1 2， a 2)，
取m＝(1，－1，0)，则
m·CA→＝m·CP→＝0，m为面PAC的法向量．
设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·CA→＝n·CE→＝0，
即
x＋y＝0，x－y＋az＝0，
取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，
依题意，|cosm，n|＝|m·n||m||n|＝aa2＋2＝6
3，则a＝2．
…10分
于是n＝(2，－2，－2)，PA→＝(1，1，－2)．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ＝|cosPA→，n|＝|PA→·n|__________|PA→||n|
＝23
， 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
23
．
…12分
（20）解：
（Ⅰ）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)．
由CP→＝2PD→，得(x－m，y)＝2(－x，n－y)， ∴x－m＝－2x，y＝2(n－y)，得m＝(2＋1)x，n＝2＋12y， …2分
由|CD→|＝2＋1，得m2＋n2＝(2＋1)2，
∴(2＋1)2x2
＋(2＋1)2
2
y2＝(2＋1)2，
整理，得曲线E的方程为x2
＋y22
＝1．
…5分
（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OM→＝OA→＋OB→，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)． 设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－2kk2＋2，x1x2＝－1
k2＋2
． …7分
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4
k2＋2
，
由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2
＋(y1＋y2)2
2
＝1，
D
A
C
E P
B
x
y
z
即4k2
(k2＋2)2＋8(k2＋2)
2＝1，解得k2
＝2． …9分
这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－ 3
4
，
(x21＋y21)(x22＋y22)＝(2－x21)(2－x22)＝4－2(x21＋x22)＋(x1x2)
2 ＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝33
16
，
cosOA→，OB→＝x1x2＋y1y2(x21＋y21)(x22＋y22
)
＝－3311． …12分 （21）解：
（Ⅰ）f(x)＝x－a2x＝(x＋a)(x－a)
x
．
…1分
当x∈(0，a)时，f(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，f(x)＞0，f(x)单调递增．
当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)＝ 1
2
a2－a2lna．
…4分
（Ⅱ）（ⅰ）设g(t)＝f(a＋t)－f(a－t)，则 当0＜t＜a时，
g(t)＝f(a＋t)＋f(a－t)＝a＋t－a2a＋t＋a－t－a2a－t＝2at2
t2－a2
＜0，
…6分 所以g(t)在(0，a)单调递减，g(t)＜g(0)＝0，即f(a＋t)－f(a－t)＜0， 故f(a＋t)＜f(a－t)． …8分
（ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增， 不失一般性，设0＜x1＜a＜x2， 因0＜a－x1＜a，则由（ⅰ），得
f(2a－x1)＝f(a＋(a－x1))＜f(a－(a－x1))＝f(x1)＝f(x2)， …11分 又2a－x1，x2∈(a，＋∞)， 故2a－x1＜x2，即x1＋x2＞2a．
…12分
望采纳
追问能清楚点吗？看不懂大题。。。