怎么理解 AX=b的系数矩阵A的行向量组线性无关，则该方程有解

Question

如题所述

Answer 1

设A是mxn矩阵
由已知, r(A)=m
所以A的列向量组a1,...,an的秩也是m
不妨设 a1,...,am 是A的列向量组a1,...,an的一个极大无关组.
则对任一m维向量b, 向量组 a1,...,am,b 线性相关. (1)
故 b 可由 a1,...,am 线性表示 (2)
所以 b 可由 a1,...,an 线性表示
所以 Ax=b 有解. (3)

注:
(1)若向量组的个数大于维数, 则向量组线性相关
(2)定理: 若 a1,...,as 线性无关, a1,...,as,b 线性相关
则 b 可由 a1,...,as 唯一线性表示
(3) Ax=b 有解 <=> b可由A的列向量组线性表示.来自：求助得到的回答

Answer 2

行向量线性无关，意味着任何一行都不能表示为其余几行的线性组合；
否则，消元的时候系数行列式的某一行可以完全消为0；此时分为两种情况：
(1 ) 如果向量b中与该行对应的常数也消成了0，则表示，方程组中的有效方程比未知数少，有无穷多解；
(2) 如果向量b中与该行对应的常数不为零，那么由该行所表示的方程左侧恒为零，右侧恒不为零，显然方程组无解；
因此系数行列式行向量线性无关是保证方程组有解的充分不必要条件，在此条件下，方程组有唯一解。