高数证明题：设函数f(x)在区间[0,1]上连续，证明

Question

如题所述

Answer 1

作变量替换t=π-x,代入可得原式=∫（π-t)f(sinx)d(-t) （积分限是从π到0），化简一下得
∫（从π到0）t*f(sint)dt + π∫（从0到π）f(sint)dt ,第一项与原式相差一下负号，移到等式左边，两边同除以2即得结论。
这种积分的证明题好像一般都是用变量替换的方法。
望采纳。追问

移到等式左边，两边同除以2即得结论
我表示不懂啊 能不能具体写一下 谢谢

追答

原式=∫（从π到0）t*f(sint)dt + π∫（从0到π）f(sint)dt ，把变量t重新换成x可得原式=∫（从π到0）x*f(sinx)dx + π∫（从0到π）f(sinx)dtx，可见上式第一项即是 —∫（从0到π）x*f(sinx)dx。移到左边就得到要证明的式子。

追问

把变量t重新换成x？那不就又变回原来的式子么？x=π-t啊 为什么到你那变成+了

追答

积分值与变量的记法无关。你自己推一下。