数学题 一个圆两条线可以分成两份 问：八条线最多可以份成几份 那N条线可以分成几份？

Question

如题所述

Answer 1

这个问题首先可以归纳为：n条直线可将平面最多分成几部分

用数学归纳法可以做出来
因为n=1时,f(1)=2,n=2时,f(2)=4,
n=3时,f(3)=7,于是可以猜想f(n)=(n^2+n+2)/2
下面证明猜想正确即可
证明:①:n=1时已经证明了其正确性
②:假设n=k时也成立,则f(k)=(k^2+k+2)/2
当n=k+1时,由于多了一条线，就可以多分割出
k+1个面,所以f(k+1)=f(k)+k+1=
(k^2+k+1)/2+(k+1)=[(k+1)^2+(k+1)+2]/2
所以当n=k+1时也成立,由①②得,对于任意n值
都有f(n)=n(n+1)/2+1

当n=8时，f(n)=37

所以，用8条直线分割一个圆，最多可以分37个部分

而一个圆，用8条直线分割最少分几个部分的问题，可以归纳为：n条直线可将平面最少分成几部分
对一个平面，这很简单，只要直线平行即不交叉，这是最少切分的情况，当然就是n+1
对于一个圆，这个情况就更多，例如互不交叉的切分，或者只通过圆上一点的分割，但结果都是n+1

所以，用8条直线分割一个圆，最少可以分n+1=9个部分

Answer 2

一条线才是两份吧？两条线就四份啦~~~
N条线就是N^(N-1)

Answer 3

一条最多分成2份，2条最多分4份，3条最多分7份，4条最多分11份，-------，n条最多分2+2+3+4+5+---+n=(n^2+n+2)/2,其实这和n条直线分平面是一样的。