求导数左右极限，请详细过程

Question

如题所述

Answer 1

x→(π/2-0)时，limf(x)=-1
x→(π/2+0)时，limf(x)=+1
解析：
y=|cosx|^(sinx)
(1) x→(π/2-0)时，cosx>0
⇒y=(cosx)^sinx
⇒lny=ln[(cosx)^(sinx)]
⇒lny=sinx*lncosx
⇒(lny)'=(sinx*lncosx)'
⇒
y'/y=cosx*lncosx+sinx*(1/cosx)*(-sinx)
⇒y'/y=cosxln(cosx)-(1/cosx)
⇒
y'=[(cosx)^sinx][cosxln(cosx)-(1/cosx)]
⇒
y'
=(cosx)^(sinx+1)lncosx-(cosx)^(sinx-1)
⇒y'=A-B
x→(π/2-0)时，limA=0；
x→(π/2-0)时，limB是0^0型；
则，
limlnB
=(sinx-1)lncosx
=lncosx/[1/(sinx-1)]
(化为∞/∞型，使用洛必达法则)
=P'/Q'
(分子分母同时求导数)
=(-sinx)(1/cosx)/{[1/(sinx-1)²]*cosx}
=-sinx*(sinx-1)²
=0
∴ limB=e^0=1
∴ limf(x)=0-1=-1
(2)
同理可得，
x→(π/2+0)时，limf(x)=0+1=1
PS：
附上f(x)=|cosx|^sinx的函数图追答

sorry，前述编辑有点疏漏
x→(π/2-)时，f'(x)=-1；
x→(π/2+)时，f'(x)=+1